Representación gráfica, tabular y algebraica de la proporcionalidad inversa
Respuesta rápida
k = 72; la fuerza aplicada. Relación: m \cdot a = 72.
Solución — Página 45
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Análisis del ejemplo
La página presenta una situación de proporcionalidad inversa entre la masa (m) y la aceleración (a) de objetos a los que se aplica la misma fuerza.
La tabla de datos es:
| Masa (kg) | Aceleración (m/s^{2}) |
|---|---|
| 9 | 8 |
| 6 | 12 |
| 4 | 18 |
| 3 | 24 |
| 2 | 36 |
- Se verifica que el producto de cada par de valores es constante: 9 \times 8 = 72 6 \times 12 = 72 4 \times 18 = 72 3 \times 24 = 72 2 \times 36 = 72
- Como el producto siempre es 72, las magnitudes son inversamente proporcionales.
- La constante de proporcionalidad es k = 72 y representa la fuerza aplicada (en newtons, ya que F = m \cdot a).
- La razón inversa se comprueba: al reducir la masa de 6\,\text{kg} a 3\,\text{kg} en razón 2:1, la aceleración aumenta de 12\,\text{m/s}^{2} a 24\,\text{m/s}^{2} en razón 1:2.
Respuesta: La constante de proporcionalidad es k = 72 y corresponde a la fuerza aplicada. La relación algebraica es m \cdot a = 72 o a = \frac{72}{m}.
Contenido de la página
Representación gráfica, tabular y algebraica de la proporcionalidad inversa
La representación tabular, gráfica y algebraica de la proporcionalidad inversa es útil para modelar, comparar y comunicar información de situaciones que involucran esta relación entre magnitudes.
La representación tabular de una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes consiste en organizar los datos correspondientes de esas magnitudes en una tabla.
Ejemplo
Al aplicar la misma fuerza a objetos del mismo material y forma, pero de masa distinta para ponerlos en movimiento, se registraron los datos de su masa y aceleración en una tabla como la siguiente:
| Masa (kg) | Aceleración (m/s^{2}) |
|---|---|
| 9 | 8 |
| 6 | 12 |
| 4 | 18 |
| 3 | 24 |
| 2 | 36 |
El comportamiento de los datos en la tabla muestra que las magnitudes masa y aceleración son inversamente proporcionales porque, al multiplicar pares de valores correspondientes de las magnitudes, el resultado es constante (siempre es el mismo valor) y representa la constante de proporcionalidad.
Por ejemplo: (4)(18) = 72; (3)(24) = 72
En esta situación, la constante de proporcionalidad representa la fuerza que se aplica a los objetos para ponerlos en movimiento.
Si los datos de una magnitud varían en una razón r, los datos de la otra magnitud deben variar en la razón inversa \frac{1}{r}.
Por ejemplo, la masa disminuye de 6\,\text{kg} a 3\,\text{kg} en la razón 2:1 \left(\frac{6\,\text{kg}}{3\,\text{kg}} = 2\right), mientras que la aceleración aumenta de 12\,\text{m/s}^{2} a 24\,\text{m/s}^{2} en la razón 1:2 \left(\frac{12\,\text{m/s}^{2}}{24\,\text{m/s}^{2}} = \frac{1}{2}\right).
Ejemplos resueltos
Verificar que la masa y la aceleración son inversamente proporcionales usando los datos de la tabla.
Se multiplican pares de valores correspondientes:
9 \times 8 = 72 6 \times 12 = 72 4 \times 18 = 72 3 \times 24 = 72 2 \times 36 = 72
Como el producto es constante (72), las magnitudes son inversamente proporcionales. La constante k = 72 representa la fuerza aplicada.
Tabla
| Masa (kg) | Aceleración (m/s^{2}) |
|---|---|
| 9 | 8 |
| 6 | 12 |
| 4 | 18 |
| 3 | 24 |
| 2 | 36 |
Fórmulas y ecuaciones
m \cdot a = k
\text{razón inversa} = \frac{1}{r}
m \cdot a = 72
a = \frac{72}{m}
\frac{6\,\text{kg}}{3\,\text{kg}} = 2
\frac{12\,\text{m/s}^{2}}{24\,\text{m/s}^{2}} = \frac{1}{2}
Glosario (4)
- Proporcionalidad inversa
- Relación entre dos magnitudes en la que al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción, de modo que su producto es constante.
- Constante de proporcionalidad
- Valor constante que resulta de multiplicar los pares de valores correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales.
- Razón inversa
- Relación en la que una magnitud varía en razón $r$ y la otra en razón $\frac{1}{r}$.
- Representación tabular
- Organización de datos de dos magnitudes en una tabla de filas y columnas.
Preguntas para practicar
¿Por qué se dice que la masa y la aceleración son inversamente proporcionales?
Porque al multiplicar cada par de valores correspondientes (masa por aceleración) el resultado es siempre el mismo: $72$. Esto significa que cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye en la misma proporción.
¿Qué representa la constante de proporcionalidad en esta situación?
Representa la fuerza aplicada a los objetos para ponerlos en movimiento, ya que la fórmula de la segunda ley de Newton es $F = m \cdot a$.
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo saber si dos magnitudes son inversamente proporcionales?
¿Qué representa la constante de proporcionalidad en una relación inversa?
¿Cómo se calcula la razón inversa entre dos magnitudes?
- • Multiplicación y división de números naturales y decimales
- • Concepto de razón y proporción
- • Proporcionalidad directa
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1824 caracteres
Representación gráfica, tabular y algebraica de la proporcionalidad inversa
La representación tabular, gráfica y algebraica de la proporcionalidad inversa es útil para modelar, comparar y comunicar información de situaciones que involucran esta relación entre magnitudes.
Ejemplo
La representación tabular de una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes consiste en organizar los datos correspondientes de esas magnitudes en una tabla.
Al aplicar la misma fuerza a objetos del mismo material y forma, pero de masa distinta para ponerlos en movimiento, se registraron los datos de su masa y aceleración en una tabla como la siguiente:
El comportamiento de los datos en la tabla muestra que las magnitudes masa y aceleración son inversamente proporcionales porque, al multiplicar pares de valores correspondientes de las magnitudes, el resultado es constante (siempre es el mismo valor) y representa la constante de proporcionalidad.
\mathrm{P o r~e j e m p l o:}\qquad(4)(18)=72\qquad(3)(24)=72
En esta situación, la constante de proporcionalidad representa la fuerza que se aplica a los objetos para ponerlos en movimiento.
Si los datos de una magnitud varian en una razón r, los datos de la otra magnitud deben variar en la razón inversa \frac{1}{r}
Por ejemplo, la masa disminuye de 6 kg a 3 kg en la razón 2: 1\left(\frac{6kg}{3kg}=2\right) mientras que la aceleración aumenta de 12m/s^{2}a24m/s^{2} en la
\mathrm{razon}1:2\left(\frac{12\mathrm{m/s^2}}{24\mathrm{m/s^2}}=\frac{1}{2}\right).
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| Masa (kg) | Aceleración(m/s) |
| 9 | 8 |
| 6 | 12 |
| 4 | 18 |
| 3 | 24 |
| 2 | 36 |
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