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Construcción de polígonos regulares o irregulares por medio de ángulos, lados y diagonales

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Respuesta rápida

Polígono regular: lados y ángulos iguales. Irregular: no todos iguales. Cuadrado: se construye con un lado o con diagonales perpendiculares. Rectángulo: con dos lados adyacentes o con diagonales, donde $\alpha+\beta=180^\circ$ y $\alpha=\gamma$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 51

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Explicación de la teoría

Esta página no contiene ejercicios propuestos; es una lección teórica sobre construcción de polígonos usando ángulos, lados y diagonales. A continuación se explica y ejemplifica cada idea.

Ejercicio 1

Polígono regular e irregular

Un polígono es una figura plana cerrada de tres o más lados.

Polígono regular: todos sus lados y todos sus ángulos interiores miden lo mismo. Ejemplos: triángulo equilátero, cuadrado.
Polígono irregular: sus lados o sus ángulos no son todos iguales. Ejemplos: triángulo escaleno, rectángulo, trapecio.

Ejercicio 2

Construcción del cuadrado

Caso A: conociendo la longitud de un lado $l$ .

Se traza el segmento $\overline{AB}$ de longitud $l$ .
En $A$ y en $B$ se levantan perpendiculares (ángulos de $90^\circ$ ).
Sobre cada perpendicular se marca la longitud $l$ , obteniendo $C$ y $D$ .
Se une $C$ con $D$ .

Caso B: conociendo las diagonales.

Las diagonales de un cuadrado son iguales y se cortan en su punto medio formando ángulos de $90^\circ$ .
Se traza una diagonal y su perpendicular por el punto medio.
Sobre cada recta se marca la mitad de la diagonal a ambos lados del centro.
Se unen los cuatro extremos: se obtiene el cuadrado.

Ejercicio 3

Construcción del rectángulo

Caso A: conociendo dos lados adyacentes $a$ y $b$ .

Se traza el lado $\overline{AB}=a$ .
En $A$ y $B$ se trazan perpendiculares.
Sobre ellas se marca $b$ , obteniendo $D$ y $C$ .
Se une $D$ con $C$ .

Caso B: conociendo las diagonales.

En el centro del rectángulo se forman cuatro ángulos:

$\alpha$ y $\beta$ son adyacentes y suplementarios: $\alpha+\beta=180^\circ$ .
$\alpha$ y $\gamma$ son opuestos por el vértice: $\alpha=\gamma$ .
$\beta$ y el ángulo opuesto también son iguales.

Con esas relaciones se trazan las dos diagonales y se unen sus extremos.

Respuesta orientativa: la construcción de polígonos depende de los datos disponibles (lados, ángulos o diagonales); en cuadriláteros como el cuadrado y el rectángulo, las propiedades de paralelismo, perpendicularidad y ángulos suplementarios permiten trazar la figura con regla y compás.

Contenido de la página

Construcción de polígonos regulares o irregulares por medio de ángulos, lados y diagonales

La construcción de polígonos regulares e irregulares se puede realizar cuando se tienen elementos como los ángulos, lados o diagonales. Para ello se deben establecer las condiciones necesarias y suficientes que permitan realizar dicha construcción.

Un polígono es aquella figura de tres o más lados. Además, si todos sus lados y ángulos son de igual medida, se define como polígono regular, como el triángulo equilátero y el cuadrado; pero si sus lados y ángulos son diferentes, entonces se denomina polígono irregular. Por ejemplo, el triángulo escaleno, el rectángulo y los trapecios.

Algunos polígonos considerados cuadriláteros son los paralelogramos. La propiedad de paralelismo origina que los lados opuestos, además de paralelos, deben tener la misma medida; esta propiedad facilita la construcción. Por ejemplo, si es un cuadrado (polígono regular), se puede construir conociendo la longitud de un lado, porque sus lados y sus ángulos son todos iguales, pero también se puede construir dadas sus diagonales, las cuales se intersecan formando ángulos de $90^\circ$ .

Para construir un rectángulo, cuadrilátero clasificado como paralelogramo, se requiere conocer la longitud de dos de sus lados adyacentes. Con esas medidas y sobre sus vértices, se trazan las rectas perpendiculares correspondientes para obtener la figura.

También es posible construir un rectángulo dadas las diagonales. Para ello, se debe considerar los ángulos adyacentes ( $\alpha$ y $\beta$ ), los cuales son suplementarios, además de conocer la condición referida a la igualdad de los ángulos $\alpha$ y $\gamma$ , ya que son opuestos por el vértice (centro del rectángulo).

Ejemplos resueltos

Construir un cuadrado conociendo la longitud de un lado $l = 4\,\text{cm}$ .

Trazar $\overline{AB}=4\,\text{cm}$ .
En $A$ y $B$ levantar perpendiculares.
Marcar $4\,\text{cm}$ sobre cada perpendicular: puntos $D$ y $C$ .
Unir $D$ con $C$ .

Resultado: cuadrado de lado $4\,\text{cm}$ y ángulos de $90^\circ$ .

Construir un rectángulo con lados adyacentes $a=6\,\text{cm}$ y $b=3\,\text{cm}$ .

Trazar $\overline{AB}=6\,\text{cm}$ .
En $A$ y $B$ trazar perpendiculares.
Marcar $3\,\text{cm}$ sobre cada perpendicular: $D$ y $C$ .
Unir $D$ con $C$ .

Resultado: rectángulo de $6\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}$ .

Tabla

Tipo de polígono	Lados	Ángulos	Ejemplo
Regular	Todos iguales	Todos iguales	Cuadrado, triángulo equilátero
Irregular	No todos iguales	No todos iguales	Rectángulo, trapecio, triángulo escaleno

Diagrama

graph TD
  A[Polígonos] --> B[Regulares]
  A --> C[Irregulares]
  B --> D[Triángulo equilátero]
  B --> E[Cuadrado]
  C --> F[Triángulo escaleno]
  C --> G[Rectángulo]
  C --> H[Trapecio]

Fórmulas y ecuaciones

$\alpha$ + $\beta$ = $180^\circ$ $\quad$ $\text{(ángulos adyacentes suplementarios)}$

$\alpha$ = $\gamma$ $\quad$ $\text{(ángulos opuestos por el vértice)}$

$\alpha$ + $\beta$ = $180^\circ$

$\alpha$ = $\gamma$

$\angle$ A = $\angle$ B = $\angle$ C = $\angle$ D = $90^\circ$

Glosario (7)

Polígono: Figura plana cerrada formada por tres o más segmentos llamados lados.
Polígono regular: Polígono cuyos lados y ángulos interiores tienen la misma medida.
Polígono irregular: Polígono en el que no todos los lados o ángulos tienen la misma medida.
Paralelogramo: Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos e iguales.
Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuya suma es $180^\circ$.
Ángulos opuestos por el vértice: Ángulos formados por dos rectas que se cortan y que son iguales entre sí.

Preguntas para practicar

¿Por qué un cuadrado puede construirse conociendo solo la longitud de un lado?

Porque en un polígono regular todos los lados y ángulos son iguales; al conocer un lado se conocen los cuatro y los ángulos son rectos, por lo que basta trazar perpendiculares de la misma longitud.

¿Qué relación existe entre los ángulos $\alpha$ y $\beta$ en el centro del rectángulo?

Son ángulos adyacentes y suplementarios, es decir, $\alpha+\beta=180^\circ$, porque juntos forman un ángulo llano sobre la misma recta.

Temas y conceptos clave

Construcción de polígonosPolígonos regulares e irregularesCuadriláteros y paralelogramosUso de ángulos, lados y diagonalesPolígonoPolígono regularPolígono irregularParalelogramoDiagonalÁngulos suplementariosÁngulos opuestos por el vértice

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Figuras de la página (3)

Cuadrado con vértices A y B, ángulo recto marcado y diagonales punteadas que se cruzan formando $90^\circ$. — Figura 1 image

Rectángulo con vértices A, B, C y D, ángulo recto en A y ejes punteados que muestran la construcción. — Figura 2 image

Dos esquemas de rectángulo con diagonales; se marcan los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ en el centro. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se construye un cuadrado conociendo solo su diagonal?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia hay entre un polígono regular y uno irregular?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué los ángulos adyacentes de un rectángulo son suplementarios?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer figuras geométricas básicas
• Medir segmentos con regla
• Identificar ángulos rectos y perpendiculares
• Conocer la suma de ángulos interiores de un cuadrilátero

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Construcción de triángulos y polígonos regulares con regla y compás

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Construcción de poligonos regulares o irregulares por medio de ángulos, lados y diagonales

La construcción de poligonos regulares e irregulares se puede realizar cuando se tienen elementos como los ángulos, lados o diagonales. Para ello se deben establecer las condiciones necesarias y suficientes que permitan realizar dicha construcción.

Un poligono es aquella figura de tres o más lados. Además, si todos sus lados y ángulos son de igual medida, se define como poligono regular, como el triángulo equilátero y el cuadrado; pero si sus lados y ángulos son diferentes, entonces se denomina poligono irregular. Por ejemplo, el triángulo escaleno, el rectángulo y los trapecios.

Algunos poligonos considerados cuadriláteros son los paralelogramos. La propiedad de paralelismo origina que los lados opuestos,además de paralelos, deben tener la misma medida; esta propiedad facilita la construcción. Por ejemplo, si es un cuadrado (polígono regular), se puede construir conociendo la longitud de un lado, porque sus lados y sus ángulos son todos iguales, pero también se puede construir dadas sus diagonales, las cuales se intersecan formando ángulos de 90o.

También es posible construir un rectángulo dadas las diagonales. Para ello, se debe considerar los ángulos adyacentes (α y β), los cuales son suplementarios, además de conocer la condición referida a la igualdad de los ángulos α y Y,ya que son opuestos por el vértice (centro del rectángulo).

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