Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

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Construcción de teselados: cuadrados y hexágonos

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Respuesta rápida

Cuadrado: $4 \times 90^\circ = 360^\circ$ . Hexágono: $3 \times 120^\circ = 360^\circ$ . Teselan triángulos, cuadrados y hexágonos regulares. Las obras de Escher se llaman teselados artísticos.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 55

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Análisis de la página

Esta página es de teoría: presenta el concepto de teselado o mosaico y la condición angular que permite construirlos. No contiene ejercicios numerados, pero sí dos preguntas abiertas que se responden a continuación.

Condición fundamental de un teselado

Para que una o varias figuras cubran el plano sin dejar huecos ni superponerse, la suma de los ángulos interiores que concurren en cada vértice debe ser exactamente $360^\circ$ .

Caso del cuadrado:

Cada ángulo interior del cuadrado mide $90^\circ$ .
En un vértice concurren 4 cuadrados.
Suma: $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 4 \times 90^\circ = 360^\circ$ .

Caso del hexágono regular:

Cada ángulo interior del hexágono regular mide $120^\circ$ .
En un vértice concurren 3 hexágonos.
Suma: $120^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 3 \times 120^\circ = 360^\circ$ .

Respuesta: el hexágono regular tesela el plano porque $3 \times 120^\circ = 360^\circ$ .

¿Qué pasa si la suma no es 360°?

Si la suma es mayor que $360^\circ$ , las figuras se empalman (se superponen).
Si la suma es menor que $360^\circ$ , quedan huecos entre ellas.

Preguntas abiertas de la página

Respuesta

el cuadrado tesela el plano porque $4 \times 90^\circ = 360^\circ$ .

Ejercicio 1

¿Con cuáles figuras geométricas se pueden construir teselados?

Respuesta orientativa: Teselan el plano los triángulos, cuadrados y hexágonos regulares, porque sus ángulos interiores ( $60^\circ$ , $90^\circ$ y $120^\circ$ ) son divisores exactos de $360^\circ$ . También teselan combinaciones de polígonos cuyos ángulos sumen $360^\circ$ en cada vértice, por ejemplo un cuadrado con dos triángulos equiláteros. En general, cualquier figura que al repetirse cubra el plano sin huecos ni traslapes sirve como patrón.

Ejercicio 2

¿Qué nombre reciben las creaciones de Escher que emplean formas animales y humanas?

Respuesta orientativa: Se llaman teselados artísticos o mosaicos de Escher, también conocidos como tessellations. Escher transformó figuras geométricas básicas mediante traslaciones, rotaciones y reflexiones hasta convertirlas en aves, peces, jinetes o figuras humanas que encajan perfectamente entre sí. Estas obras son un ejemplo de cómo la geometría y el arte se combinan.

Contenido de la página

Construcción de teselados

En la naturaleza, las abejas elaboran un tipo de teselado, ya que para construir sus panales emplean reiteradamente el hexágono. Otro ejemplo del uso repetido de una figura está en el tablero de ajedrez, que utiliza cuadrados para conformarlo.

Algunas interrogantes para la conformación de mosaicos son: ¿con cuáles figuras geométricas se pueden construir teselados?, ¿qué nombre reciben las creaciones de Escher que emplean formas animales y humanas?

En la siguiente imagen, a la izquierda, se muestra un teselado o mosaico construido sólo con una figura geométrica como patrón: el cuadrado. Los ángulos, alrededor de cualquier vértice del cuadrado que está en el centro (de color azul), siempre suman $360^\circ$ , pues la medida de cada ángulo interior del cuadrado es $90^\circ$ .

En el mosaico de hexágonos, la suma de los ángulos alrededor del vértice señalado con la flecha también da $360^\circ$ , ya que cada ángulo mide $120^\circ$ . Si la suma de los ángulos alrededor de un vértice cualquiera es mayor a $360^\circ$ , las figuras se empalmarán o quedarán huecos.

Ejemplos resueltos

Comprobar que el cuadrado tesela el plano.

Cada ángulo interior del cuadrado mide $90^\circ$ . En un vértice concurren 4 cuadrados: $4 \times 90^\circ = 360^\circ$ . Por lo tanto, el cuadrado tesela el plano sin huecos ni traslapes.

Comprobar que el hexágono regular tesela el plano.

Cada ángulo interior del hexágono regular mide $120^\circ$ . En un vértice concurren 3 hexágonos: $3 \times 120^\circ = 360^\circ$ . Por lo tanto, el hexágono regular tesela el plano.

Tabla

Polígono regular	Medida del ángulo interior	Número de figuras en un vértice	Suma
Triángulo equilátero	$60^\circ$	6	$6 \times 60^\circ = 360^\circ$
Cuadrado	$90^\circ$	4	$4 \times 90^\circ = 360^\circ$
Hexágono regular	$120^\circ$	3	$3 \times 120^\circ = 360^\circ$
Pentágono regular	$108^\circ$	No es entero	No tesela

Diagrama

graph TD
  A[Teselado o mosaico] --> B[Condición angular]
  B --> C[Suma de ángulos en cada vértice = 360°]
  C --> D[Cuadrado: 4 × 90° = 360°]
  C --> E[Hexágono regular: 3 × 120° = 360°]
  C --> F[Triángulo equilátero: 6 × 60° = 360°]
  A --> G[Ejemplos en la naturaleza]
  G --> H[Panal de abejas]
  A --> I[Ejemplos en el arte]
  I --> J[Teselados de Escher]

Fórmulas y ecuaciones

$\sum$ $\text{ángulos alrededor de un vértice}$ = $360^\circ$

4 $\times$ $90^\circ$ = $360^\circ$

3 $\times$ $120^\circ$ = $360^\circ$

$\sum$ $\text{ángulos en un vértice}$ = $360^\circ$

Glosario (5)

Teselado: Cubrimiento completo del plano con una o varias figuras que no se superponen ni dejan huecos.
Mosaico: Sinónimo de teselado; composición de figuras geométricas que encajan entre sí.
Vértice común: Punto donde concurren dos o más figuras de un teselado.
Ángulo interior: Ángulo formado por dos lados consecutivos dentro de un polígono.
Teselado artístico: Mosaico en el que las figuras geométricas se transforman en formas animales o humanas, como los de Escher.

Preguntas para practicar

¿Con cuáles figuras geométricas se pueden construir teselados?

Teselan el plano los triángulos, cuadrados y hexágonos regulares, porque sus ángulos interiores (60°, 90° y 120°) son divisores exactos de 360°. También teselan combinaciones de polígonos cuyos ángulos sumen 360° en cada vértice.

¿Qué nombre reciben las creaciones de Escher que emplean formas animales y humanas?

Se llaman teselados artísticos o mosaicos de Escher. Escher transformó figuras geométricas mediante traslaciones, rotaciones y reflexiones hasta convertirlas en aves, peces o figuras humanas que encajan perfectamente.

Temas y conceptos clave

TeseladosMosaicosÁngulos alrededor de un vérticePolígonos regularesTeselado o mosaicoVértice comúnSuma angular de 360°Ángulo interior del cuadrado (90°)Ángulo interior del hexágono regular (120°)Teselados artísticos de Escher

Fuentes y referencias

M. C. Escher, obras de teselados artísticos
SEP, Colección Sk'asolil. Saberes y pensamiento científico, 2° de secundaria

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Figuras de la página (3)

Fotografía de un panal de abejas formado por celdas hexagonales. — Figura 1 image

Obra de M. C. Escher con jinetes a caballo en blanco y negro que se entrelazan formando un teselado. — Figura 2 image

Teselado de cuadrados azules y amarillos; se resalta un vértice donde concurren cuatro cuadrados. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Por qué el pentágono regular no tesela el plano?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué figuras geométricas pueden formar un teselado?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se llaman las obras de Escher con animales y personas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer polígonos regulares
• Calcular la suma de ángulos interiores de un polígono
• Medir ángulos en grados

Siguiente tema sugerido

Teselados con polígonos no regulares y transformaciones isométricas

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Construcción de teselados

Algunas interrogantes para la conformación de mosaicos son: jcon cuáles figuras geométricas se pueden construir teselados?, jqué nombre reciben las creaciones de Escher que emplean formas animales y humanas?

En la siguiente imagen, a la izquierda, se muestra un teselado o mosaico construido sólo con una fi gura geométrica como patrón:el cuadrado. Los ángulos, alrededor de cualquier vértice del cuadrado que está en el centro (de color azul), siempre suman 360°,pues la medida de cada ángulo interior del cuadrado es 90°.

En el mosaico de hexágonos, la suma de los ángulos alrededor del vértice seńalado con la flecha también da 360°, ya que cada ángulo mide 120°. Si la suma de los ángulos alrededor de un vértice cualquiera es mayor a 360°, las fi guras se empalmarán o quedarán huecos.

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