Cálculo de perímetros mediante intersecciones de círculos con figuras geométricas
Respuesta rápida
P_{KNML}=4R, con R el radio de la circunferencia.
Solución — Página 59
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Análisis del ejemplo: perímetro del rombo KNML
La figura muestra un círculo con centro C y radio \overline{CF}=R, un rectángulo FIHG inscrito en la circunferencia y un rombo KNML cuyos vértices son los puntos medios de los lados del rectángulo.
- El lado \overline{FH} es diámetro de la circunferencia. Como I y G están sobre ella, los triángulos \triangle FHG y \triangle FIH son rectángulos (ángulo inscrito que subtiende un diámetro).
- \overline{GH}\perp\overline{FG} y \overline{FI}\perp\overline{IH}. Como \overline{FG}\parallel\overline{IH}, entonces \overline{GH}\parallel\overline{FI}. El cuadrilátero FIHG es un paralelogramo con todos sus ángulos de 90^\circ, por lo tanto es un rectángulo.
- K,L,M,N son puntos medios de los lados del rectángulo y \overline{KM}\perp\overline{NL}. Esto divide a FIHG en cuatro rectángulos congruentes cuyas diagonales miden lo mismo.
- \overline{CF} es radio R de la circunferencia y diagonal del rectángulo FNCK. Por congruencia, \overline{NK}=R.
- Como K,L,M,N son puntos medios, cada lado del rombo es diagonal de uno de los cuatro rectángulos congruentes, así que:
\overline{KL}=\overline{LM}=\overline{MN}=\overline{NK}=R
- El perímetro del rombo es la suma de sus cuatro lados iguales:
P=\overline{KL}+\overline{LM}+\overline{MN}+\overline{NK}=R+R+R+R=4R
Respuesta: El perímetro del rombo KNML es P=4R, donde R es el radio de la circunferencia.
Concepto clave
El perímetro de figuras compuestas que se intersecan se obtiene identificando las porciones de círculo de igual radio y aplicando las fórmulas conocidas de triángulos, cuadriláteros y polígonos.
Contenido de la página
Cálculo de perímetros mediante intersecciones de círculos con figuras geométricas
Las figuras geométricas planas son una representación visual formada por un conjunto de puntos y líneas con determinada forma, tamaño y posición en el plano. Esta representación puede ser cerrada o abierta.
Las figuras geométricas compuestas son aquellas cuyo trazo y representación están interrelacionados, mediante puntos y líneas, con otras figuras, como círculos, cuadriláteros, triángulos y polígonos.
El perímetro de una figura geométrica plana, como la circunferencia, el cuadrilátero o los polígonos regulares e irregulares, es igual a la longitud total de la línea o la suma de las líneas que la delimitan. A dicho resultado también se le llama contorno. Se entiende por intersección el punto de encuentro donde se cortan o se encuentran dos líneas, superficies o sólidos.
Ejemplo: perímetro del rombo KNML
Como primer ejemplo se calculará el perímetro del rombo KNML que muestra la figura de la derecha; para ello se hace el análisis de las diferentes figuras geométricas que la forman y se interrelacionan entre sí. A continuación se proporcionan los siguientes datos:
- Círculo con centro en C y radio \overline{CF}.
- Cuadrilátero FIHG.
- Rombo KNML.
- \overline{KM} es perpendicular a \overline{NL}.
- \overline{FG} es paralelo a \overline{IH}.
- Los puntos K, L, M y N son puntos medios.
Análisis
- El lado \overline{FH} es común a los triángulos FHG y FIH. Además, como es diámetro de la circunferencia y los vértices opuestos I y G de cada triángulo están sobre la circunferencia, ambos triángulos son rectángulos.
- \overline{GH} y \overline{FI} son perpendiculares a \overline{FG} e \overline{IH}, respectivamente. Como \overline{FG} e \overline{IH} son paralelos, \overline{GH} y \overline{FI} son paralelos también. Por lo tanto, el cuadrilátero FIHG es un paralelogramo, donde \overline{GH} y \overline{FI} son perpendiculares tanto a \overline{FG} como a \overline{IH}.
- Dado que todos los ángulos internos de FIHG son de 90^\circ, es un paralelogramo con parejas de lados de distinta medida con \overline{GH}=\overline{FI} y \overline{FG}=\overline{IH}. Por lo tanto, FIHG es un rectángulo.
- Dado que K, L, M y N son puntos medios y \overline{KM} es perpendicular a \overline{NL}, FIHG se divide en cuatro rectángulos congruentes, en los cuales sus diagonales tienen la misma longitud.
- \overline{CF} es un radio R de la circunferencia y una diagonal del rectángulo FNCK. Así, \overline{CF} y \overline{NK} miden R.
- Por lo tanto, el perímetro del rombo KLMN se calcula de la siguiente forma:
\overline{KL}=\overline{LM}=\overline{MN}=\overline{NK}=R
P=\overline{KL}+\overline{LM}+\overline{MN}+\overline{NK}=4R
El perímetro de figuras geométricas compuestas que se intersecan entre sí se obtiene al calcular las medidas de sus lados a partir de distintos métodos, principalmente con el uso de las fórmulas conocidas al identificar las porciones de un círculo de mismo radio.
Ejemplos resueltos
Calcular el perímetro del rombo KNML inscrito en el rectángulo FIHG, cuyos vértices son los puntos medios de los lados del rectángulo, sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita es R.
- \overline{FH} es diámetro, por lo que \triangle FHG y \triangle FIH son rectángulos.
- \overline{FG}\parallel\overline{IH} y \overline{GH}\parallel\overline{FI}, con ángulos de 90^\circ: FIHG es rectángulo.
- K,L,M,N puntos medios y \overline{KM}\perp\overline{NL} dividen FIHG en cuatro rectángulos congruentes.
- \overline{CF}=R es diagonal del rectángulo FNCK, entonces \overline{NK}=R.
- Cada lado del rombo es diagonal de un rectángulo congruente: \overline{KL}=\overline{LM}=\overline{MN}=\overline{NK}=R.
- P=4R.
Tabla
| Elemento | Propiedad |
|---|---|
| Círculo | Centro C, radio CF = R |
| Cuadrilátero FIHG | Rectángulo inscrito |
| Rombo KNML | Vértices en puntos medios |
| Lado del rombo | Igual al radio R |
| Perímetro del rombo | P = 4R |
Diagrama
graph TD
A[Círculo centro C, radio CF = R] --> B[Rectángulo FIHG inscrito]
B --> C[Puntos medios K, L, M, N]
C --> D[Rombo KNML]
D --> E[Lados = R]
E --> F[Perímetro = 4R]
Fórmulas y ecuaciones
P = 4R \quad \text{(perímetro del rombo KNML)}
\overline{KL}=\overline{LM}=\overline{MN}=\overline{NK}=R
P=\overline{KL}+\overline{LM}+\overline{MN}+\overline{NK}=4R
Glosario (6)
- Figura geométrica plana
- Representación visual formada por un conjunto de puntos y líneas con forma, tamaño y posición determinados en el plano; puede ser cerrada o abierta.
- Figura geométrica compuesta
- Figura cuyo trazo está interrelacionado con otras figuras como círculos, cuadriláteros, triángulos y polígonos.
- Perímetro
- Longitud total de la línea o suma de las líneas que delimitan una figura plana; también se le llama contorno.
- Intersección
- Punto de encuentro donde se cortan o se encuentran dos líneas, superficies o sólidos.
- Punto medio
- Punto que divide un segmento en dos partes de igual longitud.
- Rombo
- Paralelogramo con sus cuatro lados iguales y diagonales perpendiculares entre sí.
Preguntas para practicar
¿Por qué los triángulos FHG y FIH son rectángulos?
Porque el lado FH es diámetro de la circunferencia y los vértices I y G están sobre ella. Todo ángulo inscrito que subtiende un diámetro mide 90°, por lo que ambos triángulos tienen un ángulo recto en I y en G respectivamente.
¿Qué relación existe entre el radio de la circunferencia y los lados del rombo KNML?
Cada lado del rombo es diagonal de uno de los cuatro rectángulos congruentes en que se divide FIHG. Como CF es radio R y diagonal del rectángulo FNCK, por congruencia cada lado del rombo también mide R. Por eso el perímetro es 4R.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (1)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula el perímetro de una figura compuesta por círculos y polígonos?
¿Qué es una intersección en geometría plana?
¿Cómo se relaciona el radio de una circunferencia con los lados de un rombo inscrito?
- • Concepto de perímetro y contorno
- • Propiedades del círculo: radio, diámetro y circunferencia
- • Clasificación de cuadriláteros: rectángulo, rombo, paralelogramo
- • Ángulos inscritos y triángulos rectángulos
- • Punto medio de un segmento
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 3060 caracteres
Cálculo de perimetros mediante intersecciones de círculos con figuras geométricas
Las figuras geométricas planas son una representación visual formada por un conjunto de puntos y lineas con determinada forma, tamano y posición en el plano. Esta representación puede ser cerrada o abierta.
Las figuras geométricas compuestas son aquellas cuyo trazo y representación están interrelacionados, mediante puntos y lineas, con otras figuras, como círculos, cuadriláteros, triángulos y poligonos.
El perímetro de una figura geométrica plana, como la circunferencia, el cuadrilátero o los poligonos regulares e irregulares, es igual a la longitud total de la linea o la suma de las lineas que la delimitan.A dicho resultado también se le llama contorno. Se entiende por intersección el punto de encuentro donde se cortan o se encuentran dos líneas, superficies o sólidos.
Como primer ejemplo se calculará el perímetro del rombo KNML que muestra la figura de la derecha; para ello se hace el análisis de las diferentes figuras geométricas que la forman y se interrelacionan entre sí. A continuación se proporcionan los siguientes datos:
1.Círculo con centro en Cy x \overline{KM} es perpendicular a \overline{NL} radio \overline{CF} 5.\overline{FG} es paralelo a IH.2.Cuadrilátero FIHG 6.Los puntos K, L, M y N son 3.Rombo KNML puntos medios.
El lado FH es común a los triángulos FHG y FIH. Además,como es diámetro de la circunferencia y los vértices opuestos \textit{I y G} de cada triángulo están sobre la circunferencia, ambos triángulos son rectángulos.
GH \mathrm{y}\overline{\mathrm{F}} son perpendiculares a \overline{FG}\in\overline{IH} , respectivamente.Como \overline{FG}\in\overline{IH} son paralelos,\overline{GH}y\overline{FI} son paralelos también.Por lo tanto, el cuadrilátero FIHG es un paralelogramo, donde GH \mathrm{y}\overline{\mathrm{F}}\overline{\mathrm{I}} son perpendiculares tanto a \overrightarrow{FG} como a IH.
(ci Dado que todos los ángulos internos de FIHG son de 90°, es un paralelogramo con parejas de lados de distinta medida con \overline{GH}=\overline{FI}\quad\overline{FG}=\overline{IH} . Por lo tanto, FIHG es un rectángulo.
Dado que K, L, My N son puntos medios y \overline{KM} es perpendicular a NL, FIHG se divide en cuatro rectángulos congruentes,en los cuales sus diagonales tienen la misma longitud.
(c F es un radio R de la circunferencia y una diagonal del rectángulo FNCK. Así,\overline{CF}y\overline{NK} miden R.
Por lo tanto, el perímetro del rombo KLMN se calcula de la siguiente forma:
\overline{KL}=\overline{LM}=\overline{MN}=\overline{NK}=R
P=\overline{KL}+\overline{LM}+\overline{MN}+\overline{NK}=\overline{4R}
El perímetro de figuras geométricas compuestas que se intersecan entre sí se obtiene al calcular las medidas de sus lados a partir de distintos métodos,principalmente con el uso de las fórmulas conocidas al identificar las porciones de un círculo de mismo radio.
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