Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

SEP/CONALITEG

60/339

Cálculo de áreas mediante intersecciones de círculos con figuras geométricas

📄 teoria matematica 🎓 secundaria · 2° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 60

60 de 339

Anterior Página 60 / 339 Siguiente

Respuesta rápida

Cada círculo: $4\pi\,\text{cm}^{2}$ ; ambos: $8\pi\,\text{cm}^{2}$ ; rectángulo: $32\,\text{cm}^{2}$ ; área sombreada: $(32-8\pi)\,\text{cm}^{2}\approx6.87\,\text{cm}^{2}$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 60

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Calcular el área de cada uno de los dos círculos inscritos en el rectángulo KNML, sabiendo que el radio es de $2\,\text{cm}$ .

Identificamos la fórmula del área del círculo: $A = \pi r^{2}$ .
Sustituimos el valor del radio $r = 2\,\text{cm}$ : $A = \pi (2\,\text{cm})^{2}$ .
Elevamos al cuadrado: $A = \pi \cdot 4\,\text{cm}^{2}$ .
Ordenamos el resultado: $A = 4\pi\,\text{cm}^{2}$ .

Respuesta

$A = 4\pi\,\text{cm}^{2} \approx 12.57\,\text{cm}^{2}$ para cada círculo.

Ejercicio 2

Determinar el área total de los dos círculos.

Como ambos círculos tienen el mismo radio, cada uno tiene área $4\pi\,\text{cm}^{2}$ .
Sumamos las dos áreas: $A_{\text{total}} = 4\pi\,\text{cm}^{2} + 4\pi\,\text{cm}^{2}$ .
Simplificamos: $A_{\text{total}} = 8\pi\,\text{cm}^{2}$ .

Respuesta

$A_{\text{total}} = 8\pi\,\text{cm}^{2} \approx 25.13\,\text{cm}^{2}$ .

Ejercicio 3

Calcular el área del rectángulo KNML que contiene a los dos círculos.

El rectángulo tiene como largo la suma de los diámetros de los dos círculos: $l = 2\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}$ .
El ancho del rectángulo es igual al diámetro de un círculo: $a = 4\,\text{cm}$ .
Aplicamos la fórmula del área del rectángulo: $A = l \times a$ .
Sustituimos: $A = 8\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^{2}$ .

Respuesta

$A = 32\,\text{cm}^{2}$ .

Ejercicio 4

Calcular el área sombreada (región del rectángulo no ocupada por los círculos).

Área del rectángulo: $32\,\text{cm}^{2}$ .
Área total de los dos círculos: $8\pi\,\text{cm}^{2}$ .
Restamos: $A_{\text{sombreada}} = 32\,\text{cm}^{2} - 8\pi\,\text{cm}^{2}$ .
Aproximamos $\pi \approx 3.1416$ : $A_{\text{sombreada}} \approx 32 - 25.13 = 6.87\,\text{cm}^{2}$ .

Respuesta

$A_{\text{sombreada}} = (32 - 8\pi)\,\text{cm}^{2} \approx 6.87\,\text{cm}^{2}$ .

Contenido de la página

Cálculo de áreas mediante intersecciones de círculos con figuras geométricas

Para calcular el área de una figura geométrica se requiere conocer las dimensiones particulares (largo y ancho) o datos que permitan utilizar una fórmula para determinar el espacio delimitado por sus lados o contorno. Sin embargo, el proceso de determinación del área de una figura compuesta resulta ser una tarea de análisis y estrategia, debido a que el trazo y la representación se relacionan mediante puntos y líneas que se intersecan (círculos y otras figuras geométricas combinadas).

En esos casos es importante tomar en cuenta cada una de las definiciones, características y propiedades de las figuras para que al hacer el análisis se encuentren formulaciones y conjeturas que establezcan afirmaciones y proporcionen los datos numéricos para calcular la superficie o área con las fórmulas adecuadas.

El área de una figura geométrica plana es la medida bidimensional de una superficie; es la región plana delimitada por el contorno de una figura.

En la siguiente figura se plantea el cálculo del área sombreada a través del análisis de los elementos, características y propiedades de las figuras que se intersecan y que delimitan la región sombreada.

Se proporcionan los siguientes datos:

Círculo con centro en $O$ y radio $\overline{OQ} = 2\,\text{cm}$ .
Círculo con centro en $P$ y radio $\overline{QP} = 2\,\text{cm}$ .
El punto $Q$ es punto de tangencia de los dos círculos.
En el rectángulo $KNML$ están inscritos los dos círculos.
$\overline{KM}$ es una diagonal del rectángulo $KNML$ .

Al analizar las características y propiedades de las figuras geométricas, se deduce lo siguiente:

Se puede calcular el área de los dos círculos utilizando la fórmula $A = \pi r^{2}$ y la medida del radio.

La fórmula del área del círculo es $A = \pi r^{2}$ , así:

Sustituyendo el valor del radio: $A = \pi (2\,\text{cm})^{2}$

Como ambos círculos son del mismo tamaño, el área de cada uno es: $A = 4\pi\,\text{cm}^{2}$

Ejemplos resueltos

Calcular el área de un círculo con radio de $2\,\text{cm}$ .

Usamos la fórmula $A = \pi r^{2}$ . Sustituimos $r = 2\,\text{cm}$ : $A = \pi (2\,\text{cm})^{2} = 4\pi\,\text{cm}^{2}$ .

Tabla

Elemento	Fórmula	Sustitución	Resultado
Círculo	$A = \pi r^{2}$	$A = \pi (2\,\text{cm})^{2}$	$4\pi\,\text{cm}^{2}$
Dos círculos	$A_{\text{total}} = 2 \cdot 4\pi$	$A_{\text{total}} = 8\pi$	$8\pi\,\text{cm}^{2}$
Rectángulo	$A = l \times a$	$A = 8\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}$	$32\,\text{cm}^{2}$
Área sombreada	$A_{\text{sombreada}} = A_{\text{rect}} - A_{\text{círculos}}$	$A = 32 - 8\pi$	$(32-8\pi)\,\text{cm}^{2}$

Diagrama

graph TD
    A[Rectángulo KNML] --> B[Círculo izquierdo]
    A --> C[Círculo derecho]
    B --> D[Radio = 2 cm]
    C --> D
    B --> E[Área = 4π cm²]
    C --> E
    A --> F[Área = 32 cm²]
    F --> G[Área sombreada = 32 - 8π cm²]

Fórmulas y ecuaciones

A = $\pi$ $r^{2}$

A = $\pi$ $(2\$ , $\text{cm}$ $)^{2}$

A = $4\pi\$ , $\text{cm}$ $^{2}$

Glosario (4)

Área: Medida bidimensional de una superficie; región plana delimitada por el contorno de una figura.
Tangencia: Condición en la que dos curvas se tocan en un solo punto sin cruzarse.
Rectángulo inscrito: Rectángulo que contiene en su interior una o más figuras, ajustándose a sus dimensiones.
Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

Preguntas para practicar

¿Por qué es importante analizar las propiedades de las figuras antes de calcular áreas compuestas?

Porque permite identificar relaciones geométricas como tangencias, simetrías o dimensiones implícitas que no son evidentes a simple vista, y así elegir las fórmulas y estrategias adecuadas para descomponer la figura en otras más simples.

Temas y conceptos clave

Cálculo de áreasIntersección de círculos con figuras geométricasÁrea sombreadaÁreaCírculoRectánguloTangenciaDiagonalFigura compuesta

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Figura geométrica compuesta por un rectángulo KNML con dos círculos inscritos que se tocan en el punto Q. Se muestra la diagonal KM y la región sombreada fuera de los círculos pero dentro del rectángulo. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el área de una figura compuesta?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es el área sombreada y cómo se obtiene?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se relacionan los círculos y el rectángulo en este problema?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Fórmula del área del círculo
• Concepto de radio y diámetro
• Área del rectángulo
• Operaciones básicas

Siguiente tema sugerido

Cálculo de áreas de regiones sombreadas con triángulos y círculos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2029 caracteres

Cálculo de áreas mediante intersecciones de círculos con figuras geométricas

Para calcular el área de una figura geométrica se requiere conocer las dimensiones particulares (largo y ancho) o datos que permitan utilizar una fórmula para determinar el espacio delimitado por sus lados o contorno. Sin embargo, el proceso de determinación del área de una figura compuesta resulta ser una tarea de análisis y estrategia, debido a que el trazo y la representación se relacionan mediante puntos y lineas que se intersecan (círculos y otras figuras geométricas combinadas).

El área de una figura geométrica plana es la medida bidimensional de una superficie; es la región plana delimitada por el contorno de una figura.

En la siguiente fi gura se plantea el cálculo del área sombreada a través del análisis de los elementos, características y propiedades de las figuras que se intersecan y que delimitan la región sombreada.

Se proporcionan los siguientes datos:

1.Círculo con centro en ( $O y$ radio $\overline{OQ}=2$ cm

2.Círculo con centro en $P y$ radio $\overline{QP}=2$ cm

3.El punto Q es punto de tangencia de los dos círculos.

4.En el rectángulo KNML están inscritos los dos círculos.

KM es una diagonal del rectángulo KNML.

Al analizar las características y propiedades de las fi guras geométricas, se deduce lo siguiente: