Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

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Área de regiones sombreadas: rectángulo con dos círculos inscritos

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Respuesta rápida

$A_{T}=8\pi\,\text{cm}^{2}$ ; $\overline{MN}=8\,\text{cm}$ ; $\overline{LM}=4\,\text{cm}$ ; $A_{\text{rect}}=32\,\text{cm}^{2}$ ; $A_{\triangle}=16\,\text{cm}^{2}$ ; $A_{\text{sombreada}}=(32-8\pi)\,\text{cm}^{2}\approx 6.87\,\text{cm}^{2}$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 61

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Paso 1

Área total de los dos círculos inscritos de radio $r = 2\,\text{cm}$ .

Área de un círculo: $A = \pi r^{2} = \pi (2\,\text{cm})^{2} = 4\pi\,\text{cm}^{2}$ .
Como son dos círculos: $A_{T} = 2A = 2(4\pi\,\text{cm}^{2}) = 8\pi\,\text{cm}^{2}$ .

Respuesta: $A_{T} = 8\pi\,\text{cm}^{2} \approx 25.13\,\text{cm}^{2}$ .

Paso 2

Base del rectángulo $\overline{MN}$ : equivale a dos diámetros o cuatro radios.

Diámetro de cada círculo: $d = 2r = 2(2\,\text{cm}) = 4\,\text{cm}$ .
Base: $\overline{MN} = 2d = 2(4\,\text{cm}) = 8\,\text{cm}$ .

Respuesta: $\overline{MN} = 8\,\text{cm}$ .

Paso 3

Altura del rectángulo $\overline{LM}$ : equivale a un diámetro o dos radios.

Altura: $\overline{LM} = d = 2r = 2(2\,\text{cm}) = 4\,\text{cm}$ .

Respuesta: $\overline{LM} = 4\,\text{cm}$ .

Paso 4

Área del rectángulo KNML con $A = b \times h$ .

$b = \overline{MN} = 8\,\text{cm}$ , $h = \overline{LM} = 4\,\text{cm}$ .
$A = (8\,\text{cm})(4\,\text{cm}) = 32\,\text{cm}^{2}$ .

Respuesta: $A = 32\,\text{cm}^{2}$ .

Paso 5

La diagonal $\overline{KM}$ divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos iguales.

Cada triángulo tiene la mitad del área del rectángulo: $A_{\triangle} = \frac{32\,\text{cm}^{2}}{2} = 16\,\text{cm}^{2}$ .

Respuesta: cada triángulo mide $16\,\text{cm}^{2}$ .

Paso 6

Área de la región sombreada = área del rectángulo − suma de áreas de los círculos.

$A_{\text{sombreada}} = 32\,\text{cm}^{2} - 8\pi\,\text{cm}^{2}$ .
$A_{\text{sombreada}} = (32 - 8\pi)\,\text{cm}^{2} \approx 32 - 25.13 = 6.87\,\text{cm}^{2}$ .

Respuesta: $A_{\text{sombreada}} = (32 - 8\pi)\,\text{cm}^{2} \approx 6.87\,\text{cm}^{2}$ .

Contenido de la página

Total del área de los círculos: $A_{T}=2A=(2)(4\pi\ \text{cm}^{2})=8\pi\ \text{cm}^{2}$

La base del rectángulo KNML, $\overline{MN}$ , tiene una magnitud de dos diámetros o cuatro radios de los círculos inscritos. Entonces:

$\overline{MN}=(4)(2\ \text{cm})$ $\overline{MN}=8\ \text{cm}$

La altura del rectángulo KNML, $\overline{LM}$ , tiene una magnitud de un diámetro o dos radios de los círculos inscritos. Entonces:

$\overline{LM}=(2)(2\ \text{cm})$ $\overline{LM}=4\ \text{cm}$

Al determinar la base y la altura del rectángulo KNML, se puede obtener su área mediante la fórmula $A=b\times h$ :

$b=\overline{MN};\ b=8\ \text{cm}$ $h=\overline{LM};\ h=4\ \text{cm}$ $A=(8\ \text{cm})(4\ \text{cm})$ $A=32\ \text{cm}^{2}$

La diagonal de KNML, $\overline{KM}$ , lo divide en dos partes iguales, conformadas por triángulos rectángulos. Por lo tanto, cada triángulo tiene la mitad del área del rectángulo.
La diferencia entre el área del rectángulo y la suma de las áreas de las circunferencias inscritas proporciona el área de las regiones no comunes entre las figuras, que corresponde a la superficie sombreada de la figura.

Ejemplos resueltos

Calcula el área de la región sombreada entre el rectángulo KNML y dos círculos inscritos de radio $2\ \text{cm}$ .

Área de un círculo: $A=\pi r^{2}=\pi(2)^{2}=4\pi\ \text{cm}^{2}$ .
Área de dos círculos: $A_{T}=2(4\pi)=8\pi\ \text{cm}^{2}$ .
Base del rectángulo: $\overline{MN}=4r=8\ \text{cm}$ .
Altura del rectángulo: $\overline{LM}=2r=4\ \text{cm}$ .
Área del rectángulo: $A=8\times 4=32\ \text{cm}^{2}$ .
Área sombreada: $32-8\pi\approx 6.87\ \text{cm}^{2}$ .

Tabla

Elemento	Fórmula	Cálculo	Resultado
Área de un círculo	$A=\pi r^{2}$	$\pi(2)^{2}$	$4\pi\ \text{cm}^{2}$
Área de dos círculos	$A_{T}=2A$	$2(4\pi)$	$8\pi\ \text{cm}^{2}$
Base del rectángulo	$\overline{MN}=4r$	$4(2)$	$8\ \text{cm}$
Altura del rectángulo	$\overline{LM}=2r$	$2(2)$	$4\ \text{cm}$
Área del rectángulo	$A=b\times h$	$8\times 4$	$32\ \text{cm}^{2}$
Área de cada triángulo	$A_{\triangle}=\frac{A}{2}$	$\frac{32}{2}$	$16\ \text{cm}^{2}$
Área sombreada	$A_{\text{rect}}-A_{T}$	$32-8\pi$	$\approx 6.87\ \text{cm}^{2}$

Diagrama

flowchart TD
  A[Rectángulo KNML] --> B[Base MN = 8 cm]
  A --> C[Altura LM = 4 cm]
  A --> D[Área = 32 cm²]
  D --> E[Dos círculos inscritos]
  E --> F[Área total = 8π cm²]
  D --> G[Región sombreada]
  F --> G
  G --> H[32 - 8π ≈ 6.87 cm²]

Fórmulas y ecuaciones

$A_{@@MATH_0@@}=\pi$ $r^{2}$

$A_{@@MATH_0@@}=b\times$ h

$A_{$ $\text{triángulo}$ }= $\frac{A_{\text{rectángulo}}}{2}$

$A_{T}=2A=(2)(4\pi\$ $\text{cm}@@MATH_0@@^{2}$

$\overline{MN}$ =(4)(2\ $\text{cm}$ )=8\ $\text{cm}$

$\overline{LM}$ =(2)(2\ $\text{cm}$ )=4\ $\text{cm}$

$A=b\times$ h=(8\ $\text{cm}$ )(4\ $\text{cm}$ )=32\ $\text{cm}$ $^{2}$

$A_{@@MATH_0@@^{2}-8\pi\$ $\text{cm}$ $^{2}$

Glosario (3)

Círculo inscrito: Círculo contenido en una figura de modo que es tangente a sus lados.
Región sombreada: Superficie que resulta de la diferencia entre el área de una figura y las áreas de otras figuras contenidas en ella.
Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

Preguntas para practicar

¿Por qué el área de la región sombreada se obtiene restando las áreas de los círculos al área del rectángulo?

Porque la región sombreada está formada por las partes del rectángulo que no están cubiertas por los círculos. Al restar el área total de los círculos del área del rectángulo, queda exactamente la superficie no común.

Temas y conceptos clave

Área de círculosÁrea de rectángulosRegiones sombreadasFiguras inscritasÁrea total de círculosBase y altura del rectánguloDiagonal del rectánguloSuperficie sombreada

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Figuras de la página (1)

Figura geométrica con un rectángulo KNML que contiene dos círculos inscritos tangentes entre sí y a los lados del rectángulo. Se muestra la diagonal KM y la región sombreada entre los círculos y el rectángulo. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el área de la región sombreada entre un rectángulo y círculos inscritos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la fórmula del área de un círculo y cómo se aplica con radio 2 cm?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se obtiene la base y la altura de un rectángulo que contiene dos círculos?

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📌 Antes de leer esto

• Fórmula del área del círculo
• Fórmula del área del rectángulo
• Concepto de radio y diámetro
• Operaciones con números decimales y pi

Siguiente tema sugerido

Área de regiones sombreadas con figuras compuestas y polígonos regulares

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1101 caracteres

Total del área de los círculos: $A_{T}=2A=(2)(4\pi\ cm^{2})=8\pi\ cm^{2}$

La base del rectángulo KNML, MN, tiene una magnitud de dos diámetros o cuatro radios de los círculos inscritos. Entonces:

$\begin{aligned}\overline{MN}&=(4)(2cm)\\\overline{MN}&=8cm\end{aligned}$

3.i de los círculos inscritos. Entonces:los radios $\begin{aligned}&\overline{LM}=(2)(2cm)\\ &\overline{LM}=4cm\\ \end{aligned}$

Al determinar la base y la altura del rectángulo KNML, se puede obtener su área mediante la fórmula $A=b\times b$ :

$\begin{aligned}&b=MN;b=8cm\\ &b=\overline{LM};b=4cm\quad A=(8cm)(4cm)\\ &\quad A=32cm^2\\ \end{aligned}$

La diagonal de KNML, KM, Ilo divide en dos partes iguales,conformadas por triángulos rectángulos. Por lo tanto, cada triángulo tiene la mitad del área del rectángulo.

6.La diferencia entre el área del rectángulo y la suma de las áreas de las circunferencias inscritas proporciona el área de las regiones no comunes entre las fi guras, que corresponde a la superficie sombreada de la figura:

![](page=0,bbox=[610, 1132, 1114, 1400])

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