Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Método de reducción a la unidad y proporcionalidad inversa

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Respuesta rápida

60 garrafas; 300 garrafas; tiempo reducido a la cuarta parte.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 118

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 1: garrafas de agua en el recreo

Enunciado: Se necesitan 5 minutos para llenar 15 garrafas. ¿Cuántas garrafas se llenan en 20 minutos?

Identificamos los datos: Dato A = 5 minutos, Dato B = 15 garrafas, Dato C = 20 minutos.
Planteamos la proporción directa: $\frac{5\ \text{min}}{15\ \text{garrafas}} = \frac{20\ \text{min}}{x}$ .
Despejamos $x$ : $x = \frac{15\ \text{garrafas} \times 20\ \text{min}}{5\ \text{min}}$ .
Cancelamos unidades y operamos: $x = \frac{300}{5} = 60$ garrafas.

Respuesta: Se llenan 60 garrafas en 20 minutos.

Ejemplo 2: capacidad del dispensador

Enunciado: Si en 10 garrafas caben 5 litros de agua, ¿cuántas garrafas se pueden llenar con un dispensador de 150 litros?

Calculamos el valor de la unidad (garrafas por litro): $\frac{10\ \text{garrafas}}{5\ \text{litros}} = 2\ \text{garrafas por litro}$ .
Multiplicamos por la capacidad total: $x = 150\ \text{litros} \times 2\ \frac{\text{garrafas}}{\text{litro}}$ .
Operamos: $x = 300$ garrafas.

Respuesta: El dispensador alcanza para llenar 300 garrafas.

Ejemplo 3: proporcionalidad inversa (dispensadores y tiempo)

Enunciado: La administración escolar pretende que haya 4 dispensadores de agua y se desea conocer cuánto tiempo se necesita para atender a 60 estudiantes. Se usa la relación proporcional inversa.

Identificamos la relación inversa: a mayor número de dispensadores, menor tiempo de atención.
Si con 1 dispensador se atiende a 60 estudiantes en un tiempo $t$ , con 4 dispensadores el tiempo se reduce a $\frac{t}{4}$ .
Sin un valor concreto de $t$ , la expresión general es $\text{tiempo} = \frac{t}{4}$ .

Respuesta: El tiempo se reduce a la cuarta parte del tiempo original.

Contenido de la página

Información

Dato A: Tiempo necesario = 5 minutos
Dato B: Cantidad de garrafas = 15
Dato C: Tiempo total = 20 minutos

5 minutos es a 15 garrafas como 20 minutos es a $x$ .

$x = \frac{15 \text{ garrafas} \times 20 \text{ minutos}}{5 \text{ minutos}} = 60 \text{ garrafas}$

En el problema intervienen dos variables: el número de garrafas de agua y el tiempo en minutos. Obsérvese que en la ecuación unidad "minutos" de la variable tiempo se canceló. Una vez hecha la operación, se obtiene que se pueden rellenar 60 garrafas de agua durante el recreo.

Ahora, si se sabe que la capacidad del dispensador es de 150 l, pero en esta ocasión en 10 garrafas caben 5 l de agua, ¿cuántas garrafas se podrán rellenar antes de que el dispensador se quede sin agua? Para saber esto se realiza lo siguiente:

Método de reducción a la unidad: Si existe una relación proporcional directa entre A y B, el cociente entre un elemento de B y el elemento que le corresponde de A arroja el valor de la unidad (constante de proporcionalidad).

Dato A es a Dato B, entonces

Valor de la unidad: $\frac{\text{Dato B}}{\text{Dato A}}$

Así, a partir de la expresión obtenida al final de la página anterior, se tiene que

$x = \text{Dato C} \times \text{Valor de la unidad}$

Información

Dato A: Litros de agua = 5
Dato B: Garrafas = 10
Dato C: Dispensador = 150 l

5 l es a 10 garrafas

Valor de la unidad:

$\frac{\text{Dato B}}{\text{Dato A}} = \frac{10 \text{ garrafas}}{5 \text{ l}} = \frac{2 \text{ garrafas}}{1 \text{ l}}$

2 garrafas por cada litro. Es decir, 2 garrafas por cada litro de agua.

$x = 150 \text{ l} \times \frac{\text{Dato B}}{\text{Dato A}} = 150 \text{ l} \times \frac{2 \text{ garrafas}}{1 \text{ l}} = 300 \text{ garrafas}$

El dispensador alcanza a llenar de agua a 300 garrafas antes de vaciarse por completo.

Ejemplo 2

La administración escolar pretende que haya 4 dispensadores de agua y se desea conocer cuánto tiempo se necesita para atender a 60 estudiantes. En este caso, se usa la relación proporcional inversa, dado que cuando aumenta la cantidad de dispensadores se reduce el tiempo de atención para el mismo número de estudiantes.

Ejemplos resueltos

Se necesitan 5 minutos para llenar 15 garrafas. ¿Cuántas garrafas se llenan en 20 minutos?

Identificamos los datos: Dato A = 5 minutos, Dato B = 15 garrafas, Dato C = 20 minutos.
Planteamos la proporción directa: $\frac{5\ \text{min}}{15\ \text{garrafas}} = \frac{20\ \text{min}}{x}$ .
Despejamos $x$ : $x = \frac{15\ \text{garrafas} \times 20\ \text{min}}{5\ \text{min}}$ .
Cancelamos unidades y operamos: $x = \frac{300}{5} = 60$ garrafas.

Respuesta: Se llenan 60 garrafas en 20 minutos.

Si en 10 garrafas caben 5 litros de agua, ¿cuántas garrafas se pueden llenar con un dispensador de 150 litros?

Calculamos el valor de la unidad (garrafas por litro): $\frac{10\ \text{garrafas}}{5\ \text{litros}} = 2\ \text{garrafas por litro}$ .
Multiplicamos por la capacidad total: $x = 150\ \text{litros} \times 2\ \frac{\text{garrafas}}{\text{litro}}$ .
Operamos: $x = 300$ garrafas.

Respuesta: El dispensador alcanza para llenar 300 garrafas.

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Valor de la unidad}$ = $\frac{\text{Dato B}}{\text{Dato A}}$

x = $\text{Dato C}$ $\times$ $\text{Valor de la unidad}$

x = $\frac{15 \text{ garrafas} \times 20 \text{ minutos}}{5 \text{ minutos}}$ = 60 $\text{ garrafas}$

$\frac{\text{Dato B}}{\text{Dato A}}$ = $\frac{10 \text{ garrafas}}{5 \text{ l}}$ = $\frac{2 \text{ garrafas}}{1 \text{ l}}$

x = 150 $\text{ l}$ $\times$ $\frac{2 \text{ garrafas}}{1 \text{ l}}$ = 300 $\text{ garrafas}$

Glosario (3)

Proporcionalidad directa: Relación entre dos magnitudes en la que al aumentar una, la otra aumenta en la misma proporción.
Proporcionalidad inversa: Relación entre dos magnitudes en la que al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción.
Valor de la unidad: Cociente entre dos cantidades que indica cuánto corresponde a una unidad de la primera magnitud.

Preguntas para practicar

¿Por qué en el primer ejemplo se cancelan las unidades de tiempo?

Porque la unidad 'minutos' aparece tanto en el numerador como en el denominador de la fracción, lo que permite simplificarla y obtener una cantidad adimensional de garrafas.

¿En qué situaciones de la vida diaria se aplica la proporcionalidad inversa?

Se aplica cuando al aumentar una cantidad, otra disminuye en la misma proporción, por ejemplo, al aumentar el número de trabajadores, el tiempo para realizar una tarea disminuye; o al aumentar la velocidad, el tiempo de viaje disminuye.

Temas y conceptos clave

Proporcionalidad directaProporcionalidad inversaMétodo de reducción a la unidadConstante de proporcionalidadValor de la unidadRelación proporcional directaRelación proporcional inversa

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un problema de proporcionalidad directa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es el método de reducción a la unidad?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuándo se usa la proporcionalidad inversa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números naturales
• Concepto de razón y proporción
• Manejo de unidades de medida

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Problemas de proporcionalidad compuesta

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 6013 caracteres

Información

Dato A: Tiempo necesario = 5minutos

Dato B: Cantidad de garrafas = 15

(c DatoC: Tiempo $total=20$ minutos

5 minutos es a 15 garrafas como 20 minutos es a x.

$x=\frac{15\ grad\ \times20\ minutos}{5\ minutos}=60\ grad\ \times$

Ahora, si se sabe que la capacidad del dispensador es de 150 1, pero en esta ocasión en 10 garrafas caben 5 1 de agua, jcuántas garrafas se podrán rellenar antes de que el dispensador se quede sin agua? Para saber esto se realiza lo siguiente:

Método de reducción a la unidad: Si existe una relación proporcional directa entre A y B, el cociente entre un elemento de B y el elemento que le corresponde de A arroja el valor de la unidad (constante de proporcionalidad).

Dato A es a Dato B, entonces

$\mathrm{Varo\ de\ la\ unmid}\mathrm{ad}:\frac{\mathrm{Dato}\ B}{\mathrm{Dato}\ A}$

Así a partir de la expresión obtenida al final de la página anterior, se tiene que

x = Dato C× Valor de la unidad

Información

(cd Dato A: Litros de $\mathrm{agua}=5$

( DatoB: $\mathrm{Garrafas}=10$

c Dato C: Dispensador = 1501

5 les a 10 garrafas

Valor de la unidad:

$\frac{Dato\;B}{Dato\;A}=\frac{10\;garrafas}{5!}=\frac{2\;garafas}{1!}$

2 garrafas por cada litro. Es decir, 2 garrafas por cada litro de agua.

$\begin{aligned}&x=150!\times\frac{D_{\mathrm{data}}B}{D_{\mathrm{data}}A}\\ &=150!\times\frac{2\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x=1500!\times15005056666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666==1515\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

El dispensador alcanza a llenar de agua a 300 garrafas antes de vaciarse por completo.