Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Volumen de la pirámide de base cuadrada y principio de Cavalieri

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Respuesta rápida

$V_{\text{pirámide}}=\dfrac{A_{b}\times h}{3}=\dfrac{l^{3}}{3}$ . El volumen de la pirámide es un tercio del volumen del cubo o del prisma con igual base y altura.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 136

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto: volumen del prisma

El texto parte del volumen de un prisma ya calculado:

$V_{p}=(105)(32.8)\,\text{cm}^{3}=3440.64\,\text{cm}^{3}$

Esto equivale a multiplicar el área de la base (ancho $\times$ largo) por la altura:

$V_{p}=A_{b}\times h$

Pirámide de base cuadrada

Se comparan dos pirámides con la misma altura $h$ y la misma base cuadrada. Por el principio de Cavalieri, si a igual altura las secciones transversales tienen la misma área, los volúmenes son iguales.
En la pirámide de la derecha, las caras laterales son triángulos rectángulos isósceles: uno de los catetos iguales coincide con la altura y el otro con la arista de la base. Por eso:

$h=l$

Si se toman tres pirámides congruentes a esa, se puede formar un cubo de arista $l$ . El volumen del cubo es:

$V_{\text{cubo}}=l^{3}$

Como el cubo se descompone en tres pirámides iguales, el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del cubo:

$V_{\text{pirámide}}=\frac{l^{3}}{3}$

Reescribiendo $l^{3}$ como $(l\times l)\times l$ y recordando que $A_{b}=l\times l$ y que $h=l$ :

$V_{\text{pirámide}}=\frac{(l\times l)\times l}{3}=\frac{A_{b}\times h}{3}$

Respuesta: La fórmula general del volumen de una pirámide es $V=\dfrac{A_{b}\times h}{3}$ , es decir, un tercio del producto del área de la base por la altura.

Contenido de la página

El volumen del prisma es

$V_{p}=(105)(32.8)\,\text{cm}^{3}=3440.64\,\text{cm}^{3}$

Esto es equivalente a multiplicar la medida del ancho y largo que forman la base del prisma por la altura.

Pirámide de base cuadrada

Las dos pirámides que se muestran en la imagen tienen la misma altura y también la misma base cuadrada. Al compartir estas características es posible aplicar el principio de Cavalieri y concluir que el volumen de ambas es el mismo.

La altura de ambas pirámides es igual a la arista de su base, pues la figura de la derecha tiene un par de triángulos rectángulos isósceles como caras laterales: uno de los lados iguales coincide con la altura y el otro con la base. Si se tienen tres pirámides congruentes a la de la derecha, se forma un cubo como se aprecia en la siguiente figura:

Al hacer una descomposición del cubo, como la que se observa en la figura, se tiene que el volumen de la pirámide es una tercera parte del volumen del cubo:

$V_{\text{pirámide}}=\frac{l^{3}}{3}=\frac{(l\times l)\times l}{3}=\frac{A_{b}\times h}{3}$

Ejemplos resueltos

Calcula el volumen de un prisma cuya base mide 105 cm de largo y 32.8 cm de ancho, y cuya altura es 32.8 cm.

Se identifica el área de la base: $A_{b}=105\times 32.8=3444\,\text{cm}^{2}$ .
Se multiplica por la altura: $V_{p}=3444\times 32.8$ .
Resultado: $V_{p}=3440.64\,\text{cm}^{3}$ (según los datos del texto).

Tabla

Cuerpo	Fórmula del volumen	Relación
Prisma	$V=A_{b}\times h$	Volumen completo
Pirámide	$V=\frac{A_{b}\times h}{3}$	Un tercio del prisma
Cubo	$V=l^{3}$	Caso particular del prisma

Diagrama

graph TD
  A[Cubo de arista l] --> B[Pirámide 1]
  A --> C[Pirámide 2]
  A --> D[Pirámide 3]
  B --> E[V = l³/3]
  C --> E
  D --> E
  E --> F[V = (A_b × h)/3]

Fórmulas y ecuaciones

$V_{p}=A_{b}\times$ h

$V_{$ $\text{pirámide}$ }= $\frac{A_{b}\times h}{3}$

$V_{p}=(105)(32.8)\$ , $\text{cm}@@MATH_0@@^{3}$

$V_{$ $\text{pirámide}$ }= $\frac{l^{3}}{3}$

$V_{$ $\text{pirámide}$ }= $\frac{(l\times l)\times l}{3}$

$V_{$ $\text{pirámide}$ }= $\frac{A_{b}\times h}{3}$

Glosario (5)

Volumen: Medida del espacio que ocupa un cuerpo geométrico, expresada en unidades cúbicas.
Principio de Cavalieri: Si dos cuerpos tienen la misma altura y sus secciones transversales a igual altura tienen la misma área, entonces tienen el mismo volumen.
Pirámide de base cuadrada: Cuerpo geométrico cuya base es un cuadrado y cuyas caras laterales son triángulos que concurren en un vértice.
Congruente: Que tiene la misma forma y el mismo tamaño que otra figura.
Arista: Segmento donde se intersectan dos caras de un cuerpo geométrico.

Preguntas para practicar

¿Por qué se puede afirmar que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un cubo con la misma arista?

Porque un cubo puede descomponerse en tres pirámides congruentes entre sí, cada una con base cuadrada y altura igual a la arista del cubo. Como las tres ocupan todo el volumen del cubo, cada una representa un tercio de $l^{3}$.

¿Qué relación existe entre el volumen de un prisma y el de una pirámide con la misma base y altura?

El volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma cuando ambos comparten la misma área de base y la misma altura. Esto se expresa como $V_{\text{pirámide}}=\frac{A_{b}\times h}{3}$.

Temas y conceptos clave

Volumen del prismaPirámide de base cuadradaPrincipio de CavalieriDescomposición del cubo en pirámidesVolumenÁrea de la baseAlturaCongruenciaPrincipio de CavalieriTercio del volumen

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Figuras de la página (2)

Dos pirámides de base cuadrada con la misma altura h y la misma base; una de ellas muestra un ángulo recto de 90° en su interior. — Figura 1 image

Descomposición de un cubo en tres pirámides congruentes de base cuadrada, mostradas por separado y ensambladas. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué dice el principio de Cavalieri y para qué sirve?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con la misma base y altura?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Área de figuras planas (cuadrado)
• Volumen del cubo y del prisma
• Potenciación y operaciones con decimales
• Nociones básicas de congruencia

Siguiente tema sugerido

Volumen de pirámides y conos: aplicación de la fórmula $V=\frac{A_{b}\times h}{3}$

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1191 caracteres

El volumen del prisma es

$V_{p}=(105)32.8\ cm^{3}=3440.64\ cm^{3}$

Esto es equivalente a multiplicar la medida del ancho y largo que forman la base del prisma por la altura.

Pirámide de base cuadrada

La altura de ambas pirámides es igual a la arista de su base, pues la figura de la derecha tiene un par de triángulos rectángulos isósceles como caras laterales:uno de los lados iguales coincide con la altura y el otro con la base. Si se tienen tres pirámides congruentes a la de la derecha, se forma un cubo como se aprecia en la siguiente figura:

Al hacer una descomposición del cubo, como la que se observa en la figura, se tiene que el volumen de la pirámide es una tercera parte del volumen del cubo:

$V_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\frac{l^{3}}{3}=\frac{(l\times l)\times l}{3}=\frac{A_{b}\times b}{3}$

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