Criterios de semejanza de triángulos: A-A-A y L-A-L
Respuesta rápida
A-A-A: dos ángulos congruentes ⇒ triángulos semejantes. L-A-L: dos lados proporcionales y el ángulo comprendido congruente ⇒ triángulos semejantes.
Solución — Página 26
Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Criterios de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. Si además son congruentes, automáticamente son semejantes (la razón de semejanza es k=1).
Primer criterio: ángulo, ángulo, ángulo (A-A-A)
Enunciado. Si en los triángulos \triangle ABC y \triangle A'B'C' se cumple que
\angle\alpha \cong \angle\alpha', \quad \angle\beta \cong \angle\beta', \quad \angle\gamma \cong \angle\gamma',
entonces
\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.
Justificación paso a paso.
- En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180^\circ:
\alpha+\beta+\gamma=180^\circ, \qquad \alpha'+\beta'+\gamma'=180^\circ.
- Si \alpha=\alpha' y \beta=\beta', entonces el tercer ángulo queda determinado:
\gamma = 180^\circ-\alpha-\beta = 180^\circ-\alpha'-\beta' = \gamma'.
- Por lo tanto, basta conocer dos ángulos para garantizar que el tercero también coincide; los triángulos tienen la misma forma y son semejantes.
Respuesta: con dos ángulos correspondientes congruentes queda garantizada la semejanza (el tercero se deduce de la suma 180^\circ).
Segundo criterio: lado, ángulo, lado (L-A-L)
Enunciado. Si en los triángulos \triangle ABC y \triangle A'B'C' se cumple que
\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'} \quad \text{y} \quad \angle\beta \cong \angle\beta',
entonces
\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.
Justificación paso a paso.
- Los lados a y c forman el ángulo \beta en \triangle ABC; los lados a' y c' forman el ángulo \beta' en \triangle A'B'C'.
- La igualdad de razones \dfrac{a}{c}=\dfrac{a'}{c'} indica que los lados que rodean al ángulo son proporcionales.
- Al ser \angle\beta \cong \angle\beta', la forma del triángulo queda fijada: el tercer lado b también resulta proporcional, es decir \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}=k.
Respuesta: dos lados proporcionales y el ángulo comprendido congruente garantizan la semejanza.
Observaciones de la página
- Si dos triángulos son congruentes, también son semejantes.
- Conviene escribir los vértices y ángulos correspondientes en el mismo orden para no confundir la correspondencia.
- Los criterios de semejanza permiten afirmar la semejanza sin medir todos los lados y ángulos.
Contenido de la página
▸ Si dos triángulos son congruentes, también son semejantes.
▸ Por claridad, se recomienda escribir los ángulos correspondientes en el mismo orden.
Existen criterios, llamados de semejanza de triángulos, que garantizan la semejanza entre dos triángulos.
Criterios de semejanza de triángulos
Primer criterio: ángulo, ángulo, ángulo (A-A-A)
Si
\angle\alpha \cong \angle\alpha', \quad \angle\beta \cong \angle\beta', \quad \angle\gamma \cong \angle\gamma',
entonces,
\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.
Las medidas de los ángulos interiores en cualquier triángulo suman 180^\circ; si se conocen las medidas de dos ángulos, queda determinada la medida del tercer ángulo.
Segundo criterio: lado, ángulo, lado (L-A-L)
Si
\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}
y
\angle\beta \cong \angle\beta',
entonces,
\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.
Ejemplos resueltos
En \triangle ABC se sabe que \angle A = 50^\circ y \angle B = 60^\circ. En \triangle A'B'C' se sabe que \angle A' = 50^\circ y \angle B' = 60^\circ. ¿Son semejantes?
- Por el criterio A-A-A basta comparar dos ángulos: \angle A=\angle A'=50^\circ y \angle B=\angle B'=60^\circ.
- El tercer ángulo se deduce: \angle C = 180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ y \angle C'=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ.
- Los tres ángulos coinciden, por lo tanto \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.
En \triangle ABC, a=6\,\text{cm}, c=4\,\text{cm} y \angle B=40^\circ. En \triangle A'B'C', a'=9\,\text{cm}, c'=6\,\text{cm} y \angle B'=40^\circ. ¿Son semejantes?
- Verifico la proporción de los lados que forman el ángulo: \dfrac{a}{c}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} y \dfrac{a'}{c'}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}.
- Las razones son iguales: \dfrac{a}{c}=\dfrac{a'}{c'}.
- El ángulo comprendido es congruente: \angle B=\angle B'=40^\circ.
- Por el criterio L-A-L, \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' con razón k=\dfrac{3}{2}.
Tabla
| Criterio | Condición | Conclusión |
|---|---|---|
| A-A-A | \angle\alpha\cong\angle\alpha' y \angle\beta\cong\angle\beta' | \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' |
| L-A-L | \dfrac{a}{c}=\dfrac{a'}{c'} y \angle\beta\cong\angle\beta' | \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' |
Diagrama
graph TD
A[Semejanza de triángulos] --> B[Criterio A-A-A]
A --> C[Criterio L-A-L]
A --> D[Criterio L-L-L]
B --> B1[Dos ángulos congruentes]
B1 --> B2[El tercero se deduce de 180°]
C --> C1[Dos lados proporcionales]
C --> C2[Ángulo comprendido congruente]
D --> D1[Tres lados proporcionales]
Fórmulas y ecuaciones
\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \iff \angle\alpha=\angle\alpha', \; \angle\beta=\angle\beta', \; \angle\gamma=\angle\gamma'
\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'} \; \text{y} \; \angle\beta \cong \angle\beta' \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'
\angle\alpha \cong \angle\alpha', \; \angle\beta \cong \angle\beta', \; \angle\gamma \cong \angle\gamma'
\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'
\alpha+\beta+\gamma=180^\circ
\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}
\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=k
Glosario (5)
- Triángulos semejantes
- Triángulos que tienen la misma forma: sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales.
- Triángulos congruentes
- Triángulos que tienen la misma forma y el mismo tamaño; todos sus lados y ángulos correspondientes son iguales.
- Criterio de semejanza
- Condición mínima que, al cumplirse, garantiza que dos triángulos son semejantes sin necesidad de verificar todos sus elementos.
- Ángulo comprendido
- Ángulo formado por dos lados dados de un triángulo; en el criterio L-A-L es el ángulo entre los lados proporcionales.
- Razón de semejanza
- Cociente constante $k$ entre las longitudes de lados correspondientes de dos figuras semejantes.
Preguntas para practicar
¿Por qué el criterio A-A-A solo necesita dos ángulos para garantizar la semejanza?
Porque en todo triángulo la suma de los ángulos interiores es $180^\circ$. Al conocer dos ángulos, el tercero queda determinado por diferencia, así que si dos pares de ángulos son congruentes, el tercer par también lo será.
¿Qué diferencia hay entre triángulos congruentes y triángulos semejantes?
Los triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño (lados y ángulos iguales). Los semejantes tienen la misma forma pero pueden tener distinto tamaño: sus ángulos son congruentes y sus lados proporcionales con razón $k$. Todo triángulo congruente es semejante con $k=1$.
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cuáles son los tres criterios de semejanza de triángulos?
¿Cuál es la diferencia entre triángulos semejantes y congruentes?
¿Cómo saber si dos triángulos son semejantes sin medir todos sus lados?
- • Ángulos y su clasificación
- • Suma de los ángulos interiores de un triángulo (180°)
- • Razones y proporciones
- • Notación de triángulos y vértices
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 496 caracteres
ciSi dos triángulos son congruentes, también son semejantes.
c Por claridad, se recomienda escribir los ángulos correspondientes en el mismo orden.
Existen criterios, lamados de semejanza de triángulos, que garantizan la semejanza entre dos triángulos.
Criterios de semejanza de triángulos
Si
\angle\alpha\cong\angle\alpha^{\prime},\angle\beta\cong\angle\beta^{\prime},\angle\gamma\cong\angle\gamma^{\prime},
\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}
\angle\beta\cong\angle\beta',
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