Como ACBD y B es punto medio de AC, demuestra que los ángulos correspondientes de ABD y CBD son congruentes.

ABD CBD y sus ángulos correspondientes son congruentes

Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

SEP/CONALITEG

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Congruencia de triángulos: criterios L-L-L y A-L-A en ejemplos resueltos

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Respuesta rápida

Ej.1: $\triangle ABD\cong\triangle CBD$ (L-L-L). Ej.2: $x=12$ , $y=7$ . Ej.3: $\angle H\cong\angle R$ por L-L-L.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 28

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 1 (continuación de la página anterior)

Datos: $\overline{AC}\perp\overline{BD}$ , $B$ es punto medio de $\overline{AC}$ . Probar que los ángulos correspondientes de $\triangle ABD$ y $\triangle CBD$ son congruentes.

Como $\overline{AC}\perp\overline{BD}$ , los ángulos $\angle ABD$ y $\angle CBD$ son rectos: $\angle ABD=\angle CBD=90^\circ$ .
$B$ es punto medio de $\overline{AC}$ , entonces $\overline{AB}\cong\overline{BC}$ .
$\overline{DB}$ es lado común a ambos triángulos.
Por el criterio L-L-L, $\triangle ABD\cong\triangle CBD$ .
Por ser elementos correspondientes de triángulos congruentes, $\angle A\cong\angle C$ y $\angle D_1\cong\angle D_2$ .

Respuesta: $\triangle ABD\cong\triangle CBD$ (L-L-L) y sus ángulos correspondientes son congruentes.

Ejemplo 2

En la figura, $E$ es punto medio de $\overline{AB}$ y $\overline{AC}\parallel\overline{DB}$ . Hallar $x$ y $y$ .

$\angle\alpha\cong\angle\beta$ por ser ángulos opuestos por el vértice en $E$ .
$\overline{AE}\cong\overline{EB}$ porque $E$ es punto medio de $\overline{AB}$ .
$\angle A\cong\angle B$ por ser ángulos alternos internos entre las paralelas $\overline{AC}$ y $\overline{DB}$ cortadas por la transversal $\overline{AB}$ .
Con un lado y dos ángulos adyacentes iguales, $\triangle AEC\cong\triangle BED$ por el criterio A-L-A.
Entonces $\overline{CE}\cong\overline{ED}$ , es decir, $x=12$ .
Y $\overline{AC}\cong\overline{DB}$ , es decir, $y=7$ .

Respuesta: $x=12$ y $y=7$ .

Ejemplo 3

En la figura $\overline{AH}\cong\overline{BR}$ y $\overline{BH}\cong\overline{AR}$ . Probar que $\angle H\cong\angle R$ .

$\overline{AH}\cong\overline{BR}$ (dato).
$\overline{BH}\cong\overline{AR}$ (dato).
$\overline{AB}$ es lado común a $\triangle ABH$ y $\triangle ABR$ .
Por el criterio L-L-L, $\triangle ABH\cong\triangle ABR$ .
Como $\angle H$ y $\angle R$ son elementos correspondientes de triángulos congruentes, $\angle H\cong\angle R$ .

Respuesta: $\angle H\cong\angle R$ por ser ángulos correspondientes de triángulos congruentes (L-L-L).

Contenido de la página

Solución (Ejemplo 1)

Como $\overline{AC}\perp\overline{BD}$ , $\triangle ABD$ y $\triangle CBD$ son triángulos rectángulos y como $B$ es punto medio de $\overline{AC}$ , entonces $\overline{AB}\cong\overline{BC}$ . Por otro lado, $\overline{DB}$ es el lado común de los triángulos $\triangle ABD$ y $\triangle CBD$ , por lo tanto, éstos son congruentes por el criterio de congruencia L-L-L, lo cual implica que sus ángulos correspondientes son congruentes.

Ejemplo 2

En la figura, si $E$ es el punto medio de $\overline{AB}$ y $\overline{AC}\parallel\overline{DB}$ , encontrar los valores de $x$ y $y$ .

Solución

$\angle\alpha\cong\angle\beta$ porque son ángulos opuestos por el vértice.

$\overline{AE}\cong\overline{EB}$ porque $E$ es el punto medio de $\overline{AB}$ y $\angle A\cong\angle B$ porque son ángulos alternos internos entre paralelas. Entonces, $\triangle AEC\cong\triangle BED$ debido al criterio de congruencia A-L-A. Luego, $\overline{CE}\cong\overline{ED}$ , por tanto $x=12$ , y como $\overline{DB}\cong\overline{AC}$ , $y=7$ .

Por tanto, $x=12$ y $y=7$ .

Ejemplo 3

En la figura $\overline{AH}\cong\overline{BR}$ y $\overline{BH}\cong\overline{AR}$ . Probar que $\angle H\cong\angle R$ .

Solución

Como $\overline{AH}\cong\overline{BR}$ , $\overline{BH}\cong\overline{AR}$ , y como el lado $\overline{AB}$ es común a ambos triángulos, se tiene que $\triangle ABH\cong\triangle ABR$ por el criterio de congruencia L-L-L.

Luego, $\angle H\cong\angle R$ por ser elementos correspondientes de triángulos congruentes.

Ejemplos resueltos

Como $\overline{AC}\perp\overline{BD}$ y $B$ es punto medio de $\overline{AC}$ , probar que los ángulos correspondientes de $\triangle ABD$ y $\triangle CBD$ son congruentes.

$\overline{AC}\perp\overline{BD}\Rightarrow \angle ABD=\angle CBD=90^\circ$ .
$B$ punto medio $\Rightarrow \overline{AB}\cong\overline{BC}$ .
$\overline{DB}$ lado común.
L-L-L $\Rightarrow \triangle ABD\cong\triangle CBD$ .
Ángulos correspondientes congruentes.

Si $E$ es punto medio de $\overline{AB}$ y $\overline{AC}\parallel\overline{DB}$ , hallar $x$ y $y$ .

$\angle\alpha\cong\angle\beta$ (opuestos por el vértice).
$\overline{AE}\cong\overline{EB}$ (punto medio).
$\angle A\cong\angle B$ (alternos internos).
A-L-A $\Rightarrow \triangle AEC\cong\triangle BED$ .
$\overline{CE}\cong\overline{ED}\Rightarrow x=12$ ; $\overline{AC}\cong\overline{DB}\Rightarrow y=7$ .

Si $\overline{AH}\cong\overline{BR}$ y $\overline{BH}\cong\overline{AR}$ , probar que $\angle H\cong\angle R$ .

$\overline{AH}\cong\overline{BR}$ (dato).
$\overline{BH}\cong\overline{AR}$ (dato).
$\overline{AB}$ común.
L-L-L $\Rightarrow \triangle ABH\cong\triangle ABR$ .
$\angle H\cong\angle R$ por ser correspondientes.

Tabla

Criterio	Elementos que compara	Ejemplo en la página
L-L-L	Tres lados	Ejemplos 1 y 3
A-L-A	Dos ángulos y el lado entre ellos	Ejemplo 2

Diagrama

graph TD
A((A)) --- B((B))
A --- D((D))
B --- D
B --- C((C))
D --- C
A --- C
style A fill:#f9f
style B fill:#f9f
style C fill:#f9f
style D fill:#f9f

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Criterio L-L-L: }$ $\overline{AB}@@MATH_0@@\overline{A'B'}@@MATH_1@@\cong@@MATH_2@@,\$ ; $\overline{CA}@@MATH_3@@\overline{C'A'}$ $\Rightarrow$ $\triangle$ $ABC\cong\triangle$ A'B'C'

$\text{Criterio A-L-A: }$ $\angle$ $A\cong\angle$ $A',\$ ; $\overline{AB}@@MATH_0@@\overline{A'B'}$ $,\$ ; $\angle$ $B\cong\angle$ B' $\Rightarrow$ $\triangle$ $ABC\cong\triangle$ A'B'C'

$\overline{AB}@@MATH_0@@\overline{BC}$

$\triangle$ $ABD\cong\triangle$ CBD

$\triangle$ $AEC\cong\triangle$ BED

$\triangle$ $ABH\cong\triangle$ ABR

$x=12,\$ ; y=7

Glosario (5)

Congruencia: Propiedad de dos figuras que tienen la misma forma y el mismo tamaño.
Criterio L-L-L: Dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes son congruentes.
Criterio A-L-A: Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado comprendido entre ellos congruentes.
Ángulos opuestos por el vértice: Ángulos formados por dos rectas que se cortan y que comparten el vértice, son congruentes.
Ángulos alternos internos: Ángulos no adyacentes situados entre dos paralelas cortadas por una transversal; son congruentes.

Preguntas para practicar

¿Por qué los ángulos opuestos por el vértice son congruentes?

Porque al cortarse dos rectas se forman pares de ángulos suplementarios; ambos son suplemento del mismo ángulo, por lo que deben medir lo mismo.

¿Qué diferencia hay entre el criterio L-L-L y el A-L-A?

El L-L-L compara los tres lados de los triángulos, mientras que el A-L-A compara dos ángulos y el lado comprendido entre ellos.

Temas y conceptos clave

Congruencia de triángulosCriterios L-L-L y A-L-ACálculo de lados en figuras congruentesCongruenciaCriterio L-L-LCriterio A-L-AÁngulos opuestos por el vérticeÁngulos alternos internosPunto medio

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Figuras de la página (3)

Triángulo isósceles con vértice D y base AC, B punto medio de AC, ángulos α y β marcados. — Figura 1 image

Dos triángulos opuestos por el vértice E, con lados 7, x, 12, y y ángulos α y β. — Figura 2 image

Cuadrilátero cruzado AHBR con diagonales AB y HR, mostrando triángulos ABH y ABR. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

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📌 Antes de leer esto

• Clasificación de triángulos
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos alternos internos entre paralelas
• Notación de congruencia

Siguiente tema sugerido

Semejanza de triángulos y teorema de Tales

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1559 caracteres

Solución

Como $\overline{AC}\perp\overline{BD}$ , ∆ABD y ∆CBD son triángulos rectángulos y como B es punto medio de $\overline{AC},$ centonces $\overline{AB}\cong\overline{BC}$ '. Por otro lado, DB es el lado común de los triángulos $\Delta ABD\;y\;\Delta CBD$ por lo tanto, éstos son congruentes por el criterio de congruencia $L-L-L_2$ , lo cual implica que sus ángulos correspondientes son congruentes.

Ejemplo2

En la figura, si E es el punto medio de $\overline{AB}y\overline{AC}\parallel\overline{DB}$ encontrar los valores de $x y y.$

Solución

$\angle\alpha\cong\angle\beta$ .porque son ángulos opuestos por el vértice.

$\overline{AE}\cong\overline{EB}$ porque E es el punto medio de $\overline{AB}y\angle A\cong\angle B$ porque son ángulos alternos internos entre paralelas. Entonces, $\Delta A E C\cong\Delta B E D$ debido al criterio de congruencia $A-L-A$ Luego, $\overline{CE}\cong\overline{ED}$ , por tanto $x=12$ , y como $\widetilde{DB}\cong\overline{AC},y=7$

Por tanto, $x=12y y=7$

Ejemplo 3

En la fi gura $\overline{AH}\cong\overline{BR}\quad\mathrm{y}\quad\overline{BH}\cong\overline{AR}$ Probar que $\angle H\cong\angle R$

Solución

Como $\overline{AH}\cong\overline{BR},\overline{BH}\cong\overline{AR}$ , y como el lado $mún a ambos triángulos, se tiene que$ por el criterio de congruencia $L-L-L$

Luego, $\angle H\cong\angle R$ por ser elementos correspondientes de triángulos congruentes.

求

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