Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Semejanza de triángulos: criterios A-A-A y L-A-L

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4.a) $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ por A-A-A. 4.b) $\overline{ED}=4\,\text{cm}$ . 5) $\triangle AEB \sim \triangle CED$ por L-A-L.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 29

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 4

En la figura, $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$ . a) Demostrar que $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ . b) Si $\overline{AB}=8$ , $\overline{AC}=6$ y $\overline{CD}=3$ , encontrar $\overline{ED}$ .

Parte 4.a

Los ángulos $\angle BCA$ y $\angle ECD$ son opuestos por el vértice, por lo tanto $\angle BCA \cong \angle ECD$ .
Como $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$ y la recta $\overline{AD}$ es transversal, los ángulos alternos internos son iguales: $\angle CAB \cong \angle CDE$ .
De igual forma, con la recta $\overline{BE}$ como transversal, $\angle ABC \cong \angle DEC$ .
Al tener los tres pares de ángulos correspondientes iguales, se concluye que $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ por el criterio A-A-A.

Respuesta

$\triangle ABC \sim \triangle DEC$ por el criterio A-A-A.

Parte 4.b

Por la semejanza, los lados correspondientes son proporcionales: $\frac{\overline{AB}}{\overline{ED}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}$ .
Se despeja $\overline{ED}$ : $\overline{ED} = \frac{\overline{CD}}{\overline{AC}} \times \overline{AB}$ .
Se sustituyen los valores: $\overline{ED} = \frac{3}{6} \times 8 \, \text{cm}$ .
Se simplifica: $\overline{ED} = \frac{1}{2} \times 8 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm}$ .

Respuesta

$\overline{ED} = 4 \, \text{cm}$ .

Ejercicio 5

En la figura, si $\overline{AE}=4$ , $\overline{BE}=3$ , $\overline{DE}=9$ y $\overline{CE}=12$ , probar que $\triangle AEB \sim \triangle CED$ .

Los ángulos $\angle BEA$ y $\angle DEC$ son opuestos por el vértice, entonces $\angle BEA \cong \angle DEC$ .
Se comparan las razones de los lados que forman dicho ángulo: $\frac{\overline{AE}}{\overline{CE}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ y $\frac{\overline{BE}}{\overline{DE}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .
Como ambas razones son iguales, $\frac{\overline{AE}}{\overline{CE}} = \frac{\overline{BE}}{\overline{DE}}$ .
Por tener un ángulo igual comprendido entre lados proporcionales, $\triangle AEB \sim \triangle CED$ por el criterio L-A-L.

Respuesta

$\triangle AEB \sim \triangle CED$ por el criterio L-A-L.

Contenido de la página

Ejemplo 4

En la figura, $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$ .

a) Demostrar que $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ .

b) Si las medidas de los lados, en centímetros, son $\overline{AB}=8$ , $\overline{AC}=6$ y $\overline{CD}=3$ , encontrar $\overline{ED}$ .

Solución

a) Se tiene que $\angle BCA \cong \angle ECD$ por ser opuestos por el vértice, además $\angle CAB \cong \angle CDE$ y $\angle ABC \cong \angle DEC$ por ser alternos internos entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal, por lo tanto, $\triangle ABC \sim \triangle CDE$ por el criterio de semejanza A-A-A.

b) Como los dos triángulos son semejantes, se pueden establecer relaciones de proporcionalidad entre lados correspondientes, esto es: $\frac{\overline{AB}}{\overline{ED}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}$ . Entonces, al hacer un despeje y sustituir los valores de los lados:

$\overline{ED} = \frac{\overline{CD}}{\overline{AC}} \times \overline{AB} = \frac{3}{6} \times 8 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm}.$

Luego, $\overline{ED} = 4 \, \text{cm}$ .

Ejemplo 5

En la figura de abajo, si $\overline{AE}=4$ , $\overline{BE}=3$ , $\overline{DE}=9$ y $\overline{CE}=12$ , probar que $\triangle AEB \sim \triangle CED$ .

Solución

Se tiene que $\angle BEA \cong \angle DEC$ por ser opuestos por el vértice. Además, $\frac{\overline{AE}}{\overline{CE}} = \frac{\overline{BE}}{\overline{DE}}$ ya que $\frac{4}{12} = \frac{3}{9}$ . Por tanto, $\triangle AEB \sim \triangle CED$ por el criterio de semejanza L-A-L.

Ejemplos resueltos

a) $\angle BCA \cong \angle ECD$ por opuestos por el vértice; $\angle CAB \cong \angle CDE$ y $\angle ABC \cong \angle DEC$ por alternos internos. Por A-A-A, $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ . b) $\frac{\overline{AB}}{\overline{ED}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{CD}} \Rightarrow \overline{ED} = \frac{3}{6} \times 8 = 4 \, \text{cm}$ .

Si $\overline{AE}=4$ , $\overline{BE}=3$ , $\overline{DE}=9$ y $\overline{CE}=12$ , probar que $\triangle AEB \sim \triangle CED$ .

$\angle BEA \cong \angle DEC$ por opuestos por el vértice. Además $\frac{\overline{AE}}{\overline{CE}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ y $\frac{\overline{BE}}{\overline{DE}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ , por lo que los lados son proporcionales. Por L-A-L, $\triangle AEB \sim \triangle CED$ .

Diagrama

graph TD
A((A)) --- B((B))
A --- C((C))
B --- C
C --- D((D))
C --- E((E))
D --- E
A -.->|AB ∥ DE| D

Fórmulas y ecuaciones

$\triangle$ ABC $\sim$ $\triangle$ DEC $\text{ por A-A-A}$

$\triangle$ AEB $\sim$ $\triangle$ CED $\text{ por L-A-L}$

$\frac{\overline{AB}}{\overline{ED}}$ = $\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}$

$\overline{ED}$ = $\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}$ $\times$ $\overline{AB}$

$\frac{\overline{AE}}{\overline{CE}}$ = $\frac{\overline{BE}}{\overline{DE}}$

$\frac{4}{12}$ = $\frac{3}{9}$

Glosario (5)

Triángulos semejantes: Triángulos que tienen la misma forma, con ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes proporcionales.
Criterio A-A-A: Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos correspondientes iguales.
Criterio L-A-L: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual comprendido entre dos lados proporcionales.
Ángulos opuestos por el vértice: Ángulos que comparten el vértice y cuyos lados son prolongaciones opuestas; son iguales.
Ángulos alternos internos: Ángulos internos no adyacentes que se forman entre dos paralelas cortadas por una transversal; son iguales.

Temas y conceptos clave

Semejanza de triángulosCriterios A-A-A y L-A-LTriángulos semejantesCriterio A-A-ACriterio L-A-LLados correspondientes proporcionalesÁngulos opuestos por el vérticeÁngulos alternos internos

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Figuras de la página (2)

Dos triángulos opuestos por el vértice C, con vértices A, B arriba y E, D abajo; los lados AB y DE son paralelos. — Figura 1 image

Dos triángulos opuestos por el vértice E, con vértices A, B arriba y D, C abajo; se muestran las medidas de los lados. — Figura 2 image

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📌 Antes de leer esto

• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos alternos internos entre paralelas
• Razones y proporciones
• Notación de segmentos y triángulos

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Teorema de Tales y aplicaciones de la semejanza

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1493 caracteres

Ejemplo 4En la figura, $\overline{AB}\parallel\overline{DE}$

a) Demostrar que $\Delta ABC\sim\Delta DEC$

b) Si las medidas de los lados, en centímetros, son $\overline{AB}=8,\overline{AC}=6y\overline{CD}=3$ ,encontrar ED.

Solución

a) Se tiene que $\angle BCA\cong\angle ECD$ 'por ser opuestos por el vértice, además $\angle CAB\cong\angle CDEy$ $\angle ABC\cong\angle DEC$ por ser alternos internos entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal, porlo tanto, $\Delta ABC\sim\Delta CDE$ por el criterio de semejanza A-A-A.

b) Como los dos triángulos son semejantes, se pueden establecer relaciones de proporcionalidad entre lados correspondientes, esto es: $\frac{\overline{AB}}{\overline{ED}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}$ Entonces, al hacer un despeje y sustituir los valores de los lados

$\overline{ED}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}\times\overline{AB}=\frac{3}{6}\times8cm=4cm.$

Luego, $\overline{ED}=4cm$

Ejemplo5

[ $\begin{aligned}\therefore\overline{AE}=4,\overline{BE}=3,\overline{DE}=9y\overline{CE}=12\end{aligned}$ , probar que $\Delta AEB\sim\Delta CED$

Se tiene que Solución $\angle BEA\cong\angle DEC$ por ser opuestos por el vértice. Ademas, $\frac{\overline{AE}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BE}}{\overline{DE}}$ ya que $\frac{4}{12}=\frac{3}{9}$ -. Por tanto, $\Delta AEB\sim\Delta CED$ p

por el criterio de semejanza $\mathrm{L}-\mathrm{A}-\mathrm{L}$

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