Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Tercer criterio de semejanza (L-L-L) y resolución de problemas de congruencia y semejanza

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Respuesta rápida

L-L-L: $\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'} \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ . Ejemplo 1: $\angle \alpha \cong \angle \beta$ por LAL.

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Solución — Página 27

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Tercer criterio: lado, lado, lado (L-L-L)

Enunciado. Si los lados de un triángulo son proporcionales a los lados de otro, entonces los dos triángulos son semejantes.

Se comparan las razones entre lados correspondientes de $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ .
Si las tres razones son iguales, se cumple la proporcionalidad:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$

Entonces los triángulos son semejantes y se escribe:

$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Esto implica que sus ángulos correspondientes son congruentes: $\angle A \cong \angle A'$ , $\angle B \cong \angle B'$ , $\angle C \cong \angle C'$ .

Respuesta: Si $\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}$ , entonces $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ .

Ejemplo 1 (planteado)

Enunciado. En la figura de la siguiente página, $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ son rectas perpendiculares entre sí y $B$ es el punto medio de $\overline{AC}$ . Probar que $\angle \alpha \cong \angle \beta$ .

Como $B$ es punto medio de $\overline{AC}$ , se tiene $\overline{AB} \cong \overline{BC}$ .
Como $\overline{AC} \perp \overline{BD}$ , los ángulos en $B$ son rectos: $\angle ABD = \angle CBD = 90^\circ$ .
El lado $\overline{BD}$ es común a $\triangle ABD$ y $\triangle CBD$ .
Por el criterio LAL (lado-ángulo-lado), $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ .
Por lo tanto, los ángulos correspondientes son congruentes: $\angle \alpha \cong \angle \beta$ .

Respuesta: $\angle \alpha \cong \angle \beta$ por criterio LAL (la figura completa se muestra en la página siguiente).

Contenido de la página

Tercer criterio: lado, lado, lado (L-L-L)

Si los lados de un triángulo son proporcionales a los lados de otro, entonces los dos triángulos son semejantes.

Es decir, si

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$

entonces,

$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Resolución de problemas que implican la aplicación de la congruencia y semejanza de triángulos

Los criterios de congruencia y semejanza de triángulos constituyen los resultados más importantes, y son también los que más aplicaciones tienen en la geometría plana.

Ejemplo 1

En la figura de la siguiente página, $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ son rectas perpendiculares entre sí y $B$ es el punto medio de $\overline{AC}$ . Probar que $\angle \alpha \cong \angle \beta$ .

Ejemplos resueltos

$B$ es punto medio de $\overline{AC}$ $\Rightarrow$ $\overline{AB} \cong \overline{BC}$ .
$\overline{AC} \perp \overline{BD}$ $\Rightarrow$ $\angle ABD = \angle CBD = 90^\circ$ .
$\overline{BD}$ es lado común.
Por LAL, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ .
Por lo tanto, $\angle \alpha \cong \angle \beta$ .

Tabla

Criterio	Condición	Conclusión
L-L-L	$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$	$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Diagrama

graph LR
  A[Triángulo ABC] -->|lados proporcionales| B[Triángulo A'B'C']
  B --> C[Ángulos congruentes]
  C --> D[Semejanza: ABC ~ A'B'C']

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{a}{a'}$ = $\frac{b}{b'}$ = $\frac{c}{c'}$ $\Rightarrow$ $\triangle$ ABC $\sim$ $\triangle$ A'B'C'

$\frac{a}{a'}$ = $\frac{b}{b'}$ = $\frac{c}{c'}$

$\triangle$ ABC $\sim$ $\triangle$ A'B'C'

$\angle$ $\alpha$ $\cong$ $\angle$ $\beta$

Glosario (5)

Semejanza: Relación entre figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño; sus ángulos son congruentes y sus lados proporcionales.
Proporcionalidad: Igualdad entre dos o más razones.
Punto medio: Punto que divide a un segmento en dos segmentos de igual longitud.
Perpendicular: Rectas que se cortan formando ángulos de $90^\circ$.
Congruencia: Figuras que tienen la misma forma y el mismo tamaño.

Preguntas para practicar

¿Por qué el criterio L-L-L garantiza la semejanza de dos triángulos?

Porque si las tres parejas de lados correspondientes guardan la misma razón de proporcionalidad, la forma del triángulo queda completamente determinada; los ángulos correspondientes resultan congruentes y solo cambia el tamaño.

Temas y conceptos clave

Tercer criterio de semejanza L-L-LResolución de problemas de congruencia y semejanzaPlanteamiento del Ejemplo 1Semejanza de triángulosProporcionalidad de ladosCongruencia de ángulosPunto medioPerpendicularidad

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Preguntas que la gente también hace

¿Cuáles son los tres criterios de semejanza de triángulos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se aplica el criterio LAL para probar congruencia?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia hay entre congruencia y semejanza de triángulos?

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📌 Antes de leer esto

• Razones y proporciones
• Concepto de triángulo y sus elementos
• Ángulos y su clasificación
• Congruencia de segmentos y ángulos

Siguiente tema sugerido

Aplicación del criterio LAL y resolución completa del Ejemplo 1 (página 28)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 741 caracteres

Tercer criterio: lado, lado, lado (L-L–L)

Si los lados de un triángulo son proporcionales a los lados de otro,entonces los dos triángulos son semejantes.

$\frac{a}{a^{'}}=\frac{b}{b^{'}}=\frac{c}{c^{'}}$

$\Delta ABC\sim\Delta A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$

Resolución de problemas que implican la aplicación de la congruencia y semejanza de triángulos

Los criterios de congruencia y semejanza de triángulos constituyen los resultados más importantes, y son también los que más aplicaciones tienen en la geometria plana.

Ejemplo 1

En la figura de la siguiente página, $\overline{AC}y\overline{BD}$ son rectas perpendiculares entre s y B es el punto medio de $\overline{AC}$ . Probar que $\angle\alpha\cong\angle\beta$