Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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El octaedro y sus desarrollos planos

📄 teoria matematica 🎓 bachillerato · 3° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

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Respuesta rápida

Octaedro: 8 caras triangulares equiláteras, 6 vértices, 12 aristas. Un arreglo con 5 triángulos en un vértice no es desarrollo plano válido.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 33

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Análisis de la página

La página es teórica: presenta el octaedro como uno de los cinco sólidos platónicos y analiza sus desarrollos planos. No hay ejercicios numerados, por lo que se resuelve el contenido conceptual.

Ejercicio 1

¿Qué es un sólido platónico?

Un sólido platónico es un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras. Existen exactamente cinco:

Sólido	Caras	Caras por vértice
Tetraedro	4 triángulos	3
Cubo (hexaedro)	6 cuadrados	3
Octaedro	8 triángulos	4
Dodecaedro	12 pentágonos	3
Icosaedro	20 triángulos	5

Ejercicio 2

El octaedro

El octaedro regular tiene 8 caras que son triángulos equiláteros congruentes, 6 vértices y 12 aristas. Se verifica con la fórmula de Euler:

$V - A + C = 6 - 12 + 8 = 2$

Ejercicio 3

Desarrollo plano

Un desarrollo plano es una figura plana que, al plegarse por sus aristas, forma el sólido. El octaedro admite 11 desarrollos planos distintos (el cubo también tiene 11). En cada uno se identifican las 8 caras triangulares.

Ejercicio 4

El contraejemplo de la página

El arreglo resaltado tiene 8 triángulos equiláteros congruentes, pero en el vértice señalado concurren 5 aristas (5 triángulos alrededor de un punto). Al plegar, la suma de ángulos sería:

$5 \times 60^\circ = 300^\circ$

Como en un vértice del octaedro solo concurren 4 caras ( $4 \times 60^\circ = 240^\circ < 360^\circ$ ), ese arreglo no puede plegarse para formar un octaedro. Por eso no es un desarrollo plano válido.

Respuesta

El octaedro es un sólido platónico de 8 caras triangulares equiláteras; tiene varios desarrollos planos, pero un arreglo con 5 triángulos en un vértice no es válido porque excede las 4 caras que concurren en cada vértice.

Contenido de la página

Octaedro

Los sólidos platónicos son poliedros que se caracterizan porque todas sus caras son polígonos regulares congruentes, como el cubo. El octaedro es otro de los cinco sólidos platónicos conocidos. En la imagen se muestra un octaedro y su desarrollo plano.

Octaedro — Desarrollo plano del octaedro

Es importante notar cuando un sólido geométrico puede tener más de un desarrollo plano. En la siguiente imagen se muestran otros desarrollos planos del octaedro:

En cada desarrollo plano del octaedro se pueden identificar sus ocho caras, que son triángulos equiláteros congruentes.

En este caso, la imagen muestra un arreglo de ocho triángulos equiláteros congruentes. Sin embargo, en el vértice resaltado se encuentran 5 aristas, haciendo imposible obtener un octaedro. En conclusión, este arreglo no es un desarrollo plano del octaedro.

Ejemplos resueltos

Verificar que el octaedro cumple la fórmula de Euler.

El octaedro tiene $V=6$ , $A=12$ y $C=8$ . Sustituyendo: $6 - 12 + 8 = 2$ . Se cumple la relación de Euler.

Explicar por qué un arreglo de 8 triángulos equiláteros con 5 de ellos en un vértice no es desarrollo plano del octaedro.

En un vértice del octaedro concurren 4 caras triangulares: $4 \times 60^\circ = 240^\circ$ . El arreglo mostrado tiene 5 triángulos en un vértice: $5 \times 60^\circ = 300^\circ$ , lo que no corresponde a la configuración del octaedro; al plegar no se cierra correctamente.

Tabla

Sólido	Caras	Caras por vértice
Tetraedro	4 triángulos	3
Cubo	6 cuadrados	3
Octaedro	8 triángulos	4
Dodecaedro	12 pentágonos	3
Icosaedro	20 triángulos	5

Diagrama

graph TD
  A[Sólidos platónicos] --> B[Tetraedro: 4 triángulos]
  A --> C[Cubo: 6 cuadrados]
  A --> D[Octaedro: 8 triángulos]
  A --> E[Dodecaedro: 12 pentágonos]
  A --> F[Icosaedro: 20 triángulos]
  D --> G[6 vértices]
  D --> H[12 aristas]
  D --> I[Varios desarrollos planos]

Fórmulas y ecuaciones

V - A + C = 2 $\quad$ $\text{(fórmula de Euler)}$

V - A + C = 6 - 12 + 8 = 2

5 $\times$ $60^\circ$ = $300^\circ$

4 $\times$ $60^\circ$ = $240^\circ$

Glosario (5)

Sólido platónico: Poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras.
Octaedro: Sólido platónico formado por 8 caras triangulares equiláteras congruentes, con 6 vértices y 12 aristas.
Desarrollo plano: Representación bidimensional de un sólido que, al plegarse por sus aristas, permite construirlo.
Congruente: Que tiene la misma forma y el mismo tamaño que otra figura.
Arista: Segmento donde se intersectan dos caras de un poliedro.

Preguntas para practicar

¿Por qué el octaedro es un sólido platónico?

Porque todas sus caras son triángulos equiláteros congruentes (polígonos regulares) y en cada uno de sus vértices concurren exactamente 4 caras. Cumple las dos condiciones que definen a los sólidos platónicos.

¿Qué diferencia hay entre un desarrollo plano válido y uno que no lo es?

Un desarrollo válido, al plegarse por sus aristas, forma exactamente el sólido sin superponer caras ni dejar huecos. Un arreglo no válido puede tener el número correcto de caras, pero una distribución de vértices incompatible con el sólido, como ocurre con 5 triángulos en un vértice.

Temas y conceptos clave

Sólidos platónicosOctaedroDesarrollos planosSólido platónicoOctaedro regularDesarrollo planoTriángulo equilátero congruenteVértice con 4 caras concurrentes

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Figuras de la página (3)

Octaedro regular en perspectiva con caras coloreadas en rosa, lila y amarillo, mostrando aristas ocultas con líneas punteadas. — Figura 1 image

Desarrollo plano del octaedro formado por 8 triángulos equiláteros distribuidos en cruz. — Figura 2 image

Tres desarrollos planos alternativos del octaedro con triángulos amarillos y lilas. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cuántos desarrollos planos tiene un octaedro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuáles son los cinco sólidos platónicos y sus características?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué un arreglo de 8 triángulos con 5 en un vértice no forma un octaedro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer polígonos regulares
• Identificar caras, aristas y vértices de un poliedro
• Conocer el triángulo equilátero y sus ángulos de 60°

Siguiente tema sugerido

El dodecaedro y el icosaedro: los sólidos platónicos restantes

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 933 caracteres

Octaedro

Los sólidos platónicos son poliedros que se caracterizan porque todas sus caras son poligonos regulares congruentes, como el cubo. El octaedro es otro de los cinco sólidos platónicos conocidos. En la imagen se muestra un octaedro y su desarrollo plano.

Es importante notar cuando un sólido geométrico puede tener más de un desarrollo plano. En la siguiente imagen se muestran otros desarrollos planos del octaedro:

En cada desarrollo plano del octaedro se pueden identificar sus ocho caras, que son triángulos equiláteros congruentes.

En este caso, la imagen muestra un arreglo de ocho triángulos equiláteros congruentes. Sin embargo, en el vértice resaltado se encuentran 5 aristas, haciendo imposible obtener un octaedro. En conclusión,este arreglo no es un desarrollo plano del octaedro.

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