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Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

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Ejemplo 1: $x=\frac{-(8)\pm\sqrt{(8)^{2}-4(1)(12)}}{2(1)}$ . Ejemplo 2: $x=\frac{-(6)\pm\sqrt{(6)^{2}-4(1)(9)}}{2(1)}$ .

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Solución — Página 45

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación de la fórmula general

La fórmula general permite resolver cualquier ecuación cuadrática escrita en su forma polinómica $Ax^{2}+Bx+C=0$ :

$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$

Donde $A$ , $B$ y $C$ son los coeficientes de los términos cuadrático, lineal e independiente, respectivamente.

Ejemplo 1

Se sustituyen los coeficientes $A=1$ , $B=8$ , $C=12$ en la fórmula general:

Se escriben los valores entre paréntesis con su signo: $A=(1)$ , $B=(8)$ , $C=(12)$ .
Se sustituye en la fórmula:

$x=\frac{-(8)\pm\sqrt{(8)^{2}-4(1)(12)}}{2(1)}$

Respuesta: $x=\frac{-(8)\pm\sqrt{(8)^{2}-4(1)(12)}}{2(1)}$

Ejemplo 2

Dada la ecuación $6x+x^{2}+9=0$ , se ordenan los términos:

Primero el término cuadrático: $x^{2}$ .
Luego el término lineal: $6x$ .
Finalmente el término independiente: $9$ .

La ecuación en forma polinómica es:

$1x^{2}+6x+9=0$

Se identifican los coeficientes: $A=1$ , $B=6$ , $C=9$ .
Se sustituyen en la fórmula general:

$x=\frac{-(6)\pm\sqrt{(6)^{2}-4(1)(9)}}{2(1)}$

Respuesta: $x=\frac{-(6)\pm\sqrt{(6)^{2}-4(1)(9)}}{2(1)}$

Contenido de la página

Una fórmula general hace posible resolver problemas particulares al calcular valores con una ecuación aplicable a todos los casos. La fórmula general para obtener las soluciones de una ecuación cuadrática es la siguiente:

$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$

Donde $A$ , $B$ , $C$ son los respectivos coeficientes de los términos de la ecuación escrita en su forma polinómica. A continuación, se hará la sustitución de los coeficientes para hallar los valores de $x$ . De esta manera, en la fórmula, para la ecuación del primer ejemplo se tiene:

$x=\frac{-(8)\pm\sqrt{(8)^2-4(1)(12)}}{2(1)}$

Se recomienda escribir los valores de las literales $A$ , $B$ , $C$ entre paréntesis con sus respectivos signos para facilitar las operaciones. Por ahora, sólo se trabajará la sustitución.

En el segundo caso, $6x+x^{2}+9=0$ , la expresión cuadrática está igualada a cero, pero los términos en la ecuación no están ordenados. Para resolverla, se reacomodan sus términos de la siguiente manera: primero se escribe el término cuadrático, seguido del lineal y finalmente el independiente. Los coeficientes de los términos en ese orden corresponden a las literales $A$ , $B$ y $C$ respectivamente.

$6x+x^{2}+9=0$

La ecuación escrita de forma polinómica es:

$1x^{2}+6x+9=0$

Así, los valores correspondientes son éstos:

$A=1, B=6, C=9$

Al sustituir los coeficientes de la ecuación en la fórmula general se obtiene lo siguiente:

$x=\frac{-(6)\pm\sqrt{(6)^2-4(1)(9)}}{2(1)}$

Ejemplos resueltos

Sustituir los coeficientes en la fórmula general para la ecuación del primer ejemplo.

Se identifican $A=1$ , $B=8$ , $C=12$ . Se sustituyen en la fórmula general: $x=\frac{-(8)\pm\sqrt{(8)^2-4(1)(12)}}{2(1)}$ .

Ordenar la ecuación $6x+x^{2}+9=0$ y sustituir sus coeficientes en la fórmula general.

Se reacomodan los términos: $1x^{2}+6x+9=0$ . Se identifican $A=1$ , $B=6$ , $C=9$ . Se sustituyen: $x=\frac{-(6)\pm\sqrt{(6)^2-4(1)(9)}}{2(1)}$ .

Fórmulas y ecuaciones

x= $\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$

x= $\frac{-(8)\pm\sqrt{(8)^2-4(1)(12)}}{2(1)}$

$6x+x^{2}+9=0$

$1x^{2}+6x+9=0$

x= $\frac{-(6)\pm\sqrt{(6)^2-4(1)(9)}}{2(1)}$

Glosario (4)

Fórmula general: Expresión matemática que permite resolver cualquier ecuación cuadrática escrita en forma polinómica.
Ecuación cuadrática: Ecuación polinómica de segundo grado de la forma $Ax^{2}+Bx+C=0$.
Coeficiente: Número que multiplica a una variable en un término algebraico.
Forma polinómica: Escritura ordenada de una ecuación cuadrática: término cuadrático, lineal e independiente.

Temas y conceptos clave

Fórmula generalEcuaciones cuadráticasSustitución de coeficientesFórmula generalCoeficientes A, B, CForma polinómicaSustitución

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¿Qué significan los coeficientes A, B y C en la fórmula general?

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¿Cómo se ordena una ecuación cuadrática a su forma polinómica?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros
• Jerarquía de operaciones
• Concepto de ecuación cuadrática

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Resolución completa de ecuaciones cuadráticas con la fórmula general

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$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$

Donde A, B, C son los respectivos coeficientes de los términos de la ecuación escrita en su forma polinómica. A continuación, se hará la sustitución de los coeficientes para hallar los valores de x. De esta manera, en la fórmula, para la ecuación del primer ejemplo se tiene:

$x=\frac{-(8)\pm\sqrt{(8)^2-4(1)(12)}}{2(1)}$

Se recomienda escribir los valores de las literales A, B, C entre paréntesis con sus respectivos signos para facilitar las operaciones. Por ahora, sólo se trabajará la sustitución.

En el segundo caso, $6x+x^{2}+9=0$ , la expresión cuadrática estáigualada a cero, pero los términos en la ecuación no están ordenados.Para resolverla, se reacomodan sus términos de la siguiente manera:primero se escribe el termino cuadrático, seguido del lineal y finalmente el independiente. Los coefi cientes de los términos en ese orden corresponden a las literales A, B y C respectivamente.

$6x+x^{2}+9=0$

La ecuación escrita de forma polinómica es:

$1x^{2}+6x+9=0$

Así, los valores correspondientes son éstos:

$A=1,B=6,C=9$

Al sustituir los coeficientes de la ecuación en la fórmula general se obtiene lo siguiente:

$x=\frac{-(6)\pm\sqrt{(6)^2-4(1)(9)}}{2(1)}$

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