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Permutaciones con repetición

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Respuesta rápida

$151\,200$ palabras. 2) Las permutaciones simples usan $n!$ ; las permutaciones con repetición dividen entre los factoriales de los elementos repetidos.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 152

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la palabra MATEMÁTICA?

Se identifica el total de letras: la palabra MATEMÁTICA tiene $n = 10$ letras.
Se identifican las letras repetidas: M se repite 2 veces ( $k_{1}=2$ ), A se repite 3 veces ( $k_{2}=3$ ) y T se repite 2 veces ( $k_{3}=2$ ).
Se aplica la fórmula de permutaciones con repetición:

$P_{\text{Rep}}=\frac{n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdot k_{3}!}$

Se sustituyen los valores:

$P_{\text{Rep}}=\frac{10!}{2!\cdot 3!\cdot 2!}$

Se desarrollan los factoriales:

$P_{\text{Rep}}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(2\cdot 1)\cdot(3\cdot 2\cdot 1)\cdot(2\cdot 1)}$

Se simplifica el numerador y el denominador:

$P_{\text{Rep}}=\frac{3\,628\,800}{2\cdot 6\cdot 2}=\frac{3\,628\,800}{24}$

Se realiza la división:

$P_{\text{Rep}}=151\,200$

Respuesta

Se pueden formar $151\,200$ palabras con o sin sentido.

Ejercicio 2

Explica la diferencia entre permutaciones y permutaciones con repetición.

En las permutaciones simples todos los elementos son distintos, por lo que se multiplica directamente: $n!$ .
En las permutaciones con repetición hay elementos iguales, por lo que se calcula el factorial del total de datos y se divide entre el producto de los factoriales de las repeticiones.
La división elimina los ordenamientos que se repiten al intercambiar elementos iguales.

Respuesta

Las permutaciones simples usan $n!$ ; las permutaciones con repetición usan $\frac{n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}$ .

Contenido de la página

Permutaciones con repetición

Cuando se quiere saber el número de permutaciones en un conjunto de objetos con elementos repetidos, se analiza la situación dependiendo de los datos con los que se cuenta para hacer uso de la fórmula de permutaciones con repetición.

Las permutaciones con repetición se realizan si se tiene un conjunto de $n$ elementos de los cuales $k_{1}$ son iguales, $k_{2}$ son iguales, etcétera. De esta manera se cumple que la cantidad de permutaciones es $k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!$ y, por tanto:

$P_{\text{Rep}}=\frac{n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}$

Las permutaciones con repetición se utilizan en conjuntos de elementos. A continuación, se muestra un ejemplo para entender mejor dicha condición.

Ejemplo

El total de las letras que tiene la palabra MATEMÁTICA es $n=10$ .

Para saber cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras, primero se debe observar las letras que se repiten.
La letra M se repite 2 veces, es decir, $k_{1}=2$ .
La letra A se repite 3 veces ( $k_{2}=3$ ).
La letra T se repite 2 veces ( $k_{3}=2$ ).

Entonces el número de palabras que se pueden formar es:

$\frac{10!}{2!\cdot 3!\cdot 2!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(2\cdot 1)\cdot(3\cdot 2\cdot 1)\cdot(2\cdot 1)}=\frac{3\,628\,800}{2\cdot 6\cdot 2}=151\,200$

Las permutaciones y las permutaciones con repeticiones no son las mismas. Las primeras únicamente hacen la multiplicación de manera directa, a diferencia de las permutaciones con repeticiones, en las que primero se obtiene el factorial del total de datos y luego este se divide entre las multiplicaciones del factorial de los datos con repetición.

Ejemplos resueltos

¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la palabra MATEMÁTICA?

La palabra tiene $n=10$ letras. Se repiten: M dos veces ( $k_{1}=2$ ), A tres veces ( $k_{2}=3$ ) y T dos veces ( $k_{3}=2$ ). Aplicando la fórmula: $P_{\text{Rep}}=\frac{10!}{2!\cdot 3!\cdot 2!}=\frac{3\,628\,800}{24}=151\,200$ .

Fórmulas y ecuaciones

$P_{$ $\text{Rep}$ }= $\frac{n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}$

$\frac{10!}{2!\cdot 3!\cdot 2!}$ $=151\,200$

Glosario (3)

Permutación: Ordenamiento de todos o parte de los elementos de un conjunto.
Permutación con repetición: Ordenamiento en el que algunos elementos se repiten; se calcula dividiendo el factorial total entre los factoriales de los elementos repetidos.
Factorial: Producto de todos los números naturales desde 1 hasta un número dado; se denota con el signo !.

Preguntas para practicar

¿Por qué en las permutaciones con repetición se divide entre los factoriales de los elementos repetidos?

Porque al intercambiar elementos iguales se generan ordenamientos que no se distinguen entre sí. La división elimina esas repeticiones y deja solo los ordenamientos distintos.

Temas y conceptos clave

Permutaciones con repeticiónConteoFactorialPermutación con repeticiónFórmula $P_{\text{Rep}}=\frac{n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}$Elementos repetidosFactorial

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Figuras de la página (1)

Tarjetas con las letras de la palabra MATEMÁTICA: M, A, T, E, M, Á, T, I, C, A. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calculan las permutaciones con repetición?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuántas palabras se forman con las letras de MATEMÁTICA?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre permutaciones y permutaciones con repetición?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de factorial
• Permutaciones simples
• Multiplicación y división de números naturales

Siguiente tema sugerido

Combinaciones sin repetición

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Permutaciones con repetición

Las permutaciones con repetición se realizan si se tiene un conjunto de n elementos de los cuales $k_{1}$ son iguales, $k_{2}$ son iguales, etcétera. De esta manera se cumple que la cantidad de permutaciones es $k_{1}!\bullet k_{2}!\bullet\ldots\bullet k_{m}!$ y, por tanto:

$P_{\mathrm{Rep}}=\frac{n!}{k_1!\bullet k_2!\bullet\ldots\bullet k_m!}$

Las permutaciones con repetición se utilizan en conjuntos de elementos.A continuación, se muestra un ejemplo para entender mejor dicha condición.

Ejemplo

El total de las letras que tiene la palabra MATEMATICA es $n=10$

c Para saber cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras, primero se debe observar las letras que se repiten.

La letra M se repite 2 veces, es decir, $k_{1}=2$ La letra A se repite 3 veces $(k_{2}=3)$ La letra T se repite 2 veces $(k_{3}=2)$

cid ntonces el número de palabras que se pueden formar es:

$\begin{aligned}&\frac{10!}{2!\bullet3!\bullet2!}=\frac{10\bullet9\bullet8\bullet7\bullet6\bullet5\bullet4\bullet3\bullet2\bullet1}{(2\bullet1)\bullet(3\bullet2\bullet1)\bullet(2\bullet1)}\\ &\\ &=\frac{3628800}{2\bullet6\bullet2}=151200\\ \end{aligned}$

Las permutaciones y las permutaciones con repeticiones no son las mismas. Las primeras únicamente hacen la multiplicación de manera direc ta, a diferencia de las permutaciones con repeticiones, en las que primero se obtiene el factorial del total de datos y luego éste se divide entre las multiplicaciones del factorial de los datos con repetición.

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