Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 1

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Situaciones con pendiente positiva: función lineal y proporcionalidad directa

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Respuesta rápida

Función lineal: $y=kx$ . Pendiente positiva $k>0$ implica recta creciente que pasa por el origen. En la gráfica, $k=\frac{3}{4}$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 156

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Análisis de la página

La página es teórica: no contiene ejercicios numerados. Se explican los conceptos de función, variable dependiente e independiente, proporcionalidad directa y pendiente positiva.

Conceptos desarrollados

Una función es una regla de correspondencia entre dos variables, donde una depende de la otra.
En una variación directamente proporcional, el cociente entre las variables es constante:

$\frac{y}{x}=k$

Al despejar $y$ se obtiene la función lineal:

$y=kx$

La gráfica de una función lineal es una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$ cuando no hay término independiente.
La pendiente es la razón de cambio; si $k>0$ , la pendiente es positiva y la recta es creciente.

Lectura de la gráfica

La recta mostrada pasa por $(0,0)$ y por $(8,6)$ . Su pendiente es:

$k=\frac{6-0}{8-0}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0.75$

Por lo tanto, la ecuación de esa recta es $y=\frac{3}{4}x$ .

Respuesta orientativa: La página enseña que toda variación directamente proporcional se modela con $y=kx$ , cuya gráfica es una recta creciente cuando $k>0$ .

Contenido de la página

Situaciones con pendiente positiva

El estudio de las variaciones proporcionales con constante positiva requiere del concepto de función, que es una regla de correspondencia entre dos variables, en donde una es dependiente de la otra. Cuando se grafican estos datos, en ocasiones es necesario obtener la razón de cambio, definida como la pendiente de una recta.

La variación proporcional se puede representar como una función que relaciona dos magnitudes, con su cociente, llamado constante de proporcionalidad.

Una función es la relación entre dos variables (aquélla que puede cambiar de valor, asignando las literales $x$ y $y$ ). Las variaciones directamente proporcionales se nombran funciones lineales y su gráfica se representa por una línea recta.

Algunas características de la ecuación de una función lineal son que $y$ es la variable dependiente, ya que sus valores dependen de otra variable, y $x$ es la variable independiente, pues su valor es el que se puede modificar a voluntad, por ejemplo:

En el enunciado "Una naranja cuesta $5", el número de naranjas es la variable independiente, es la cantidad que se controla; el precio es la dependiente, ya que su valor depende de la cantidad de naranjas.

Una razón proporcional a partir de las variables independiente y dependiente está definida como:

$\frac{y}{x}=k$

Si se despeja $y$ , se obtiene:

$y=kx$

Ejemplos resueltos

En el enunciado "Una naranja cuesta $5", identifica las variables y la constante de proporcionalidad.

Variable independiente: número de naranjas ( $x$ ). Variable dependiente: precio total ( $y$ ). Constante de proporcionalidad: $k=5$ . La función es $y=5x$ .

Determina la pendiente de la recta que pasa por el origen y por el punto $(8,6)$ .

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-0}{8-0}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0.75$ La ecuación es $y=\frac{3}{4}x$ .

Tabla

Variable	Símbolo	Comportamiento	Ejemplo (naranjas)
Independiente	$x$	Se modifica a voluntad	Número de naranjas
Dependiente	$y$	Depende de $x$	Precio total
Constante	$k$	Cociente $y/x$	Precio por naranja ($5)

Diagrama

graph LR
  A[Función] --> B[Regla de correspondencia]
  B --> C[Variable independiente x]
  B --> D[Variable dependiente y]
  C --> E[Proporcionalidad directa]
  D --> E
  E --> F[Constante k]
  F --> G[Función lineal y = kx]
  G --> H[Gráfica: recta con pendiente positiva]

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{y}{x}$ =k

y=kx

$\frac{y}{x}$ =k

y=kx

k= $\frac{6-0}{8-0}$ = $\frac{3}{4}$

Glosario (6)

Función: Regla de correspondencia entre dos variables donde una depende de la otra.
Variable dependiente: Variable cuyos valores dependen de otra variable; se representa con $y$.
Variable independiente: Variable que se puede modificar a voluntad; se representa con $x$.
Constante de proporcionalidad: Cociente constante $k$ entre dos magnitudes directamente proporcionales.
Pendiente: Razón de cambio de una recta; indica su inclinación.
Función lineal: Función de proporcionalidad directa cuya gráfica es una línea recta que pasa por el origen.

Preguntas para practicar

¿Por qué se dice que la pendiente de una función lineal es positiva?

Porque la constante de proporcionalidad $k$ es mayor que cero, lo que hace que al aumentar $x$ también aumente $y$. En la gráfica, la recta sube de izquierda a derecha.

¿Qué diferencia hay entre variable dependiente e independiente?

La variable independiente $x$ se modifica libremente y la dependiente $y$ cambia como consecuencia de los valores de $x$. En una proporción directa, $y$ siempre es $k$ veces $x$.

Temas y conceptos clave

Función linealVariación proporcional directaPendiente positivaConstante de proporcionalidadfunciónvariable dependientevariable independienteconstante de proporcionalidadrazón de cambiopendiente

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Figuras de la página (1)

Plano cartesiano con una recta de pendiente positiva que pasa por el origen y por el punto (8, 6). Los ejes están rotulados como x e y. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es una función lineal y cómo se representa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula la pendiente de una recta que pasa por el origen?

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¿Cuál es la diferencia entre variable dependiente e independiente?

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📌 Antes de leer esto

• Razones y proporciones
• Plano cartesiano
• Operaciones básicas con números racionales

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Situaciones con pendiente negativa y función afín

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Situaciones con pendiente positiva

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La variación proporcional se puede representar como una función que relaciona dos magnitudes, con su cociente, llamado constante de proporcionalidad.

Una función es la relación entre dos variables (aquélla que puede cambiar de valor, asignando las literales $x y y)$ . Las variaciones directamente proporcionales se nombran funciones lineales y su gráfica se representa por una línea recta.

Algunas características de la ecuación de una función lineal son que y es la variable dependiente, ya que sus valores dependen de otra variable, y x es la variable independiente, pues su valor es el que se puede modificar a voluntad,por ejemplo:

En el enunciado "Una naranja cuesta $\S5^{\circ}$ ', el número de naranjas es la variable independiente, es la cantidad que se controla; el precio es la dependiente, ya que su valor depende de la cantidad de naranjas.

Una razón proporcional a partir de las variables independiente y dependiente está definida como:

Si se despeja $y,$ se obtiene:

$\frac{y}{x}=k$

$y=k_{x}$

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