Razón de cambio y ecuación de una relación lineal con constante positiva

El departamento de ingeniería evalúa el desempeño de un vehículo registrando la distancia recorrida y el tiempo empleado. Determina la razón de cambio (velocidad) y la ecuación que describe el movimiento.

1. Identificamos dos puntos de la tabla. Por ejemplo, A=(20,10) y B=(40,20), donde x es el tiempo en minutos y y la distancia en kilómetros.
2. Calculamos la razón de cambio con la fórmula de la pendiente:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

3. Sustituimos los valores de los puntos elegidos:

m=\frac{20-10}{40-20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=0.5

4. Interpretamos el resultado: el vehículo recorre 0.5\,\text{km} por cada minuto, es decir, su velocidad es 0.5\,\text{km/min}.
5. Convertimos a \text{km/h} invirtiendo los valores y multiplicando por 60:

\frac{0.5\,\text{km}}{1\,\text{min}}\times\frac{60\,\text{min}}{1\,\text{h}}=30\,\text{km/h}

6. Como la recta pasa por el origen (0,0), la ecuación lineal es de la forma y=mx. Sustituyendo m=0.5:

y=0.5x

Verifica que la ecuación y=0.5x se cumple para todos los puntos de la tabla.

1. Tomamos el punto C=(60,30): y=0.5(60)=30. Coincide.
2. Tomamos el punto D=(80,40): y=0.5(80)=40. Coincide.
3. Tomamos el punto G=(140,70): y=0.5(140)=70. Coincide.

Explica por qué la gráfica de una relación de proporcionalidad con constante positiva es una recta creciente.

1. La pendiente m=0.5>0 indica que al aumentar x, y también aumenta.
2. En el plano cartesiano, los puntos (x, 0.5x) se alinean formando una recta que sube de izquierda a derecha.
3. Por tanto, la representación gráfica es una recta con inclinación positiva.