Construcción de la recta tangente a una circunferencia por un punto de ella
Respuesta rápida
La recta t = XY es tangente a la circunferencia c en A, con t \perp OA. El radio, diámetro y cuerda son segmentos; la tangente y secante son rectas.
Solución — Página 27
Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Paso 1
Prolongar el radio OA hacia el exterior de la circunferencia, es decir, reflejar O con respecto de A sobre la prolongación del radio. Nombrar al reflejo de O como O'.
- Se traza el radio OA y se prolonga la recta más allá de A.
- Con el compás, haciendo centro en A y con abertura AO, se marca el punto O' sobre la prolongación, de modo que AO = AO'.
- Así, A es el punto medio del segmento OO'.
Respuesta orientativa: Se obtiene el punto O' simétrico de O respecto de A, con AO = AO'.
Paso 2
Con centro O y O' trazar semicircunferencias de la misma abertura que se intersecten. Nombrar X y Y a los puntos donde éstas se intersectaron.
- Con el compás, haciendo centro en O, se traza una semicircunferencia de abertura mayor que OA.
- Con la misma abertura y centro en O', se traza otra semicircunferencia que corte a la anterior.
- Los puntos de corte se nombran X y Y.
Respuesta orientativa: Los puntos X y Y equidistan de O y de O', por lo que pertenecen a la mediatriz del segmento OO'.
Paso 3
Trazar una recta que pase por los puntos X y Y para obtener la recta tangente t a la circunferencia c que pasa por el punto A.
- Se une X con Y mediante una recta.
- La recta XY pasa por A, porque A es el punto medio de OO' y X, Y están en la mediatriz de OO'.
- Como XY \perp OA, la recta XY es tangente a la circunferencia c en el punto A.
Respuesta orientativa: La recta t = XY es la tangente a la circunferencia c en el punto A, y cumple t \perp OA.
Definiciones de segmentos y rectas notables
- Radio: segmento que une el centro con un punto de la circunferencia; la toca en un punto.
- Diámetro: segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia; la toca en dos puntos.
- Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia; la toca en dos puntos.
- Tangente: recta que tiene contacto con la circunferencia en un solo punto.
- Secante: recta que tiene contacto con la circunferencia en dos puntos.
Contenido de la página
Prolongar el radio OA hacia el exterior de la circunferencia, es decir, reflejar O con respecto de A sobre la prolongación del radio. Nombrar al reflejo de O como O'.
Con centro O y O' trazar semicircunferencias de la misma abertura que se intersecten. Nombrar X y Y a los puntos donde éstas se intersectaron.
Trazar una recta que pase por los puntos X y Y para obtener la recta tangente t a la circunferencia c que pasa por el punto A.
El radio, el diámetro y la cuerda son segmentos que se encuentran dentro de una circunferencia, el primer segmento la toca en un punto y los otros en dos puntos, mientras que la tangente y la secante son rectas que tienen contacto con la circunferencia en uno o dos puntos, respectivamente.
Identificar y construir segmentos y rectas notables en una circunferencia permite conocer las características y propiedades de éstas, para que dichas construcciones sirvan de apoyo en la resolución de problemas modelados a través de ellas. Por ejemplo, para conocer el punto donde tocará a la Tierra un asteroide que se desplaza en el espacio.
Ejemplos resueltos
Construir la recta tangente a la circunferencia c en el punto A.
Se refleja O respecto de A para obtener O'. Con centros O y O' se trazan semicircunferencias iguales que se cortan en X y Y. La recta XY es la tangente t en A, pues XY \perp OA.
Tabla
| Elemento | Tipo | Puntos de contacto con la circunferencia |
|---|---|---|
| Radio | Segmento | 1 |
| Diámetro | Segmento | 2 |
| Cuerda | Segmento | 2 |
| Tangente | Recta | 1 |
| Secante | Recta | 2 |
Diagrama
graph TD
O[Centro O] --> A[Punto A]
A --> O2[Punto O']
O --> X[Punto X]
O2 --> X
O --> Y[Punto Y]
O2 --> Y
X --> T[Recta tangente t]
Y --> T
T --> A
Fórmulas y ecuaciones
t \perp OA
AO = AO'
t \perp OA
Glosario (6)
- Radio
- Segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
- Diámetro
- Segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia.
- Cuerda
- Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
- Tangente
- Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.
- Secante
- Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
- Mediatriz
- Recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio.
Preguntas para practicar
¿Por qué la recta que pasa por $X$ y $Y$ es tangente a la circunferencia en $A$?
Porque $X$ y $Y$ equidistan de $O$ y $O'$, por lo que la recta $XY$ es la mediatriz de $OO'$. Como $A$ es el punto medio de $OO'$, la recta pasa por $A$ y es perpendicular al radio $OA$, condición que define a la tangente.
¿Para qué sirve identificar y construir segmentos y rectas notables en una circunferencia?
Sirve para conocer las propiedades geométricas de la circunferencia y resolver problemas modelados, como determinar el punto donde un asteroide tocaría la Tierra o calcular distancias y ángulos en figuras circulares.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (3)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo trazar la tangente a una circunferencia por un punto de ella?
¿Cuál es la diferencia entre radio, diámetro y cuerda?
¿Qué diferencia hay entre recta tangente y recta secante?
- • Uso de regla y compás
- • Concepto de circunferencia y radio
- • Punto medio de un segmento
- • Perpendicularidad
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1108 caracteres
- Prolongar el radio OA hacia el exterior de la circunferencia, es decir, reflejar O con respecto de A sobre la prolongación del radio. Nombrar al reflejo de O como O'
2.Con centro O y O' trazar semicircunferencias de la misma abertura que se intersecten. Nombrar X y Ya los puntos donde éstas se intersectaron.
que pasa por el punto A.
El radio, el diámetro y la cuerda son segmentos que se encuentran dentro de una circunferencia, el primer segmento la toca en un punto y los otros en dos puntos, mientras que la tangente y la secante son rectas que tienen contacto con la circunferencia en uno o dos puntos, respectivamente.
福
Identificar y construir segmentos y rectas notables en una circunferencia permite conocer las características y propiedades de éstas, para que dichas construcciones sirvan de apoyo en la resolución de problemas modelados a través de ellas. Por ejemplo, para conocer el punto donde tocará a la Tierra un asteroide que se desplaza en el espacio.
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