Desigualdad del triángulo: verificación con segmentos de 10, 20 y 31 cm

Ejemplo 2

Existen longitudes de segmentos a, b y c, cuyas medidas en centímetros son: a = 10, b = 20, c = 31. Verificar si es posible formar un triángulo con ellas.

1. Se aplica la propiedad de la desigualdad del triángulo: la suma de dos lados cualesquiera debe ser mayor que el tercer lado. Se deben cumplir las tres desigualdades simultáneamente.
2. Primera desigualdad: a + b > c. 10 + 20 > 31 \Rightarrow 30 > 31 Como 30 no es mayor que 31, esta desigualdad no se cumple.
3. Segunda desigualdad: a + c > b. 10 + 31 > 20 \Rightarrow 41 > 20 Como 41 es mayor que 20, esta desigualdad sí se cumple.
4. Tercera desigualdad: b + c > a. 20 + 31 > 10 \Rightarrow 51 > 10 Como 51 es mayor que 10, esta desigualdad sí se cumple.
5. Conclusión: como no se cumplen las tres desigualdades a la vez, no es posible construir un triángulo con los segmentos a, b y c. Basta con que falle una desigualdad para descartar la construcción.

Respuesta: No es posible formar un triángulo con segmentos de 10\,\text{cm}, 20\,\text{cm} y 31\,\text{cm}, porque 10 + 20 = 30 < 31.

Teorema de la desigualdad del triángulo

Con esta afirmación, llamada teorema, se puede identificar si dadas tres longitudes es posible formar un triángulo. El teorema establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor que la longitud del lado restante. Si se cumple esta condición para las tres combinaciones posibles, se asegura la construcción del triángulo.

Respuesta orientativa: La desigualdad del triángulo es una condición necesaria y suficiente: si a + b > c, a + c > b y b + c > a, entonces existe un triángulo con esas medidas; si al menos una falla, el triángulo no puede construirse.