Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2

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Uso de la expresión ax² + bx + c para representar áreas de figuras geométricas

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Respuesta rápida

El área de un cuadrado de lado $x$ es $x^{2}$ ; si el lado es $2x$ , el área es $4x^{2}$ . La expresión $ax^{2}+bx+c$ generaliza estas relaciones.

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Solución — Página 20

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación del contenido

La página introduce el uso de expresiones algebraicas de segundo grado, específicamente de la forma $ax^{2}+bx+c$ , para representar áreas de figuras geométricas cuando no se conocen las medidas exactas de sus lados.

Idea central

Para un cuadrado o rectángulo, el área se obtiene multiplicando la base por la altura:

$A = \text{base} \times \text{altura}$

Si se desconoce la medida de los lados, se usa una literal (por ejemplo, $x$ ) para representar el lado más corto y, a partir de ella, se expresa el otro lado.

Caso 1: Cuadrado de lado $x$

Si el lado del cuadrado mide $x$ , su área es:

$A = x \cdot x = x^{2}$

Esta es una expresión de segundo grado con $a=1$ , $b=0$ , $c=0$ .

Caso 2: Cuadrado de lado $2x$

Si los lados miden el doble de $x$ , es decir, $2x$ , el área es:

$A = 2x \cdot 2x = 4x^{2}$

Esto muestra que el área se cuadruplica respecto al cuadrado de lado $x$ . En la imagen, el cuadrado verde (lado $x$ ) cabe cuatro veces en el cuadrado azul (lado $2x$ ).

Relación con $ax^{2}+bx+c$

En estos ejemplos, $b=0$ y $c=0$ , por lo que la expresión se reduce a $ax^{2}$ . La forma completa $ax^{2}+bx+c$ aparecerá cuando se sumen o resten áreas parciales, por ejemplo, al combinar un cuadrado y un rectángulo.

Respuesta orientativa: La página enseña a modelar áreas con expresiones algebraicas de segundo grado, usando literales para lados desconocidos y verificando geométricamente el resultado.

Contenido de la página

Ejemplos de uso de la expresión $ax^{2}+bx+c$ para representar áreas de figuras geométricas

Para determinar el área de un cuadrado o rectángulo, se debe multiplicar la base de la figura por su altura. En caso de desconocer las medidas de los lados, puede emplearse una literal para representar el lado más corto y, en función de esta medida, representar el largo del otro lado. Así, en este caso el producto será una expresión algebraica de segundo grado.

En la siguiente tabla se muestra la representación geométrica de un cuadrado y su ecuación para indicar el área ( $A$ ).

Cuadrado	Área ( $A$ )
![Cuadrado de lado x](imagen: cuadrado azul pequeño con lado x)	$A = x \cdot x = x^{2}$ El área se relaciona con las medidas desconocidas de los lados. Si se conoce su área, es posible determinar la longitud de los lados.
![Cuadrado de lado 2x](imagen: cuadrado azul grande con lado 2x)	Si los lados de un cuadrado miden el doble de la longitud de $x$ , el área aumenta. ![Comparación de cuadrados](imagen: cuadrado verde de lado x dentro de cuadrado azul de lado 2x) El cuadrado verde cabe cuatro veces en el azul, es decir, el área del cuadrado azul es cuatro veces la del cuadrado verde. La ecuación que relaciona el área y las medidas de los lados se expresa como: $A = 2x \cdot 2x = 4x^{2}$

Cuadrado

Área (

A

)

![Cuadrado de lado x](imagen: cuadrado azul pequeño con lado x)

A = x \cdot x = x^{2}

El área se relaciona con las medidas desconocidas de los lados. Si se conoce su área, es posible determinar la longitud de los lados.

![Cuadrado de lado 2x](imagen: cuadrado azul grande con lado 2x)

Si los lados de un cuadrado miden el doble de la longitud de

x

, el área aumenta.

![Comparación de cuadrados](imagen: cuadrado verde de lado x dentro de cuadrado azul de lado 2x)

El cuadrado verde cabe cuatro veces en el azul, es decir, el área del cuadrado azul es cuatro veces la del cuadrado verde.

La ecuación que relaciona el área y las medidas de los lados se expresa como:

A = 2x \cdot 2x = 4x^{2}

Ejemplos resueltos

Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide $x$ .

El área de un cuadrado es lado por lado. Entonces, $A = x \cdot x = x^{2}$ .

Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide $2x$ .

El área es $A = 2x \cdot 2x = 4x^{2}$ . Esto indica que el área es cuatro veces la del cuadrado de lado $x$ .

Tabla

Cuadrado	Área (A)
Lado $x$	$A = x^{2}$
Lado $2x$	$A = 4x^{2}$

Diagrama

graph TD
  A[Área de figuras geométricas] --> B[Cuadrado de lado x]
  A --> C[Cuadrado de lado 2x]
  B --> D[A = x²]
  C --> E[A = 4x²]
  D --> F[Expresión de segundo grado]
  E --> F
  F --> G[ax² + bx + c]

Fórmulas y ecuaciones

A = $x^{2}$

A = $4x^{2}$

A = $ax^{2}+bx+c$

A = x $\cdot$ x = $x^{2}$

A = 2x $\cdot$ 2x = $4x^{2}$

$ax^{2}+bx+c$

Glosario (4)

Área: Medida de la superficie de una figura geométrica.
Literal: Letra que representa una cantidad desconocida en álgebra.
Expresión algebraica de segundo grado: Expresión de la forma $ax^{2}+bx+c$, donde $a$, $b$ y $c$ son números y $a \neq 0$.
Cuadrado: Figura geométrica con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.

Preguntas para practicar

¿Por qué el área de un cuadrado de lado $2x$ es cuatro veces el área de un cuadrado de lado $x$?

Porque al duplicar la longitud del lado, el área se multiplica por el cuadrado del factor de escala, es decir, por $2^{2}=4$. Geométricamente, el cuadrado pequeño cabe cuatro veces en el grande.

¿Cómo se relaciona la expresión $ax^{2}+bx+c$ con el área de figuras geométricas?

La expresión generaliza el área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos. El término $ax^{2}$ representa el área de un cuadrado de lado proporcional a $x$, $bx$ el área de un rectángulo y $c$ un área constante.

Temas y conceptos clave

Área de figuras geométricasExpresiones algebraicas de segundo gradoUso de literales en geometríaÁreaCuadradoRectánguloLiteralExpresión de segundo gradoCoeficiente

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el área de un cuadrado si no conozco la medida de sus lados?

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¿Qué significa la expresión ax² + bx + c en geometría?

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¿Cómo se relaciona el área de un cuadrado con el doble de su lado?

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación de monomios
• Concepto de área de cuadrados y rectángulos
• Uso de literales para representar cantidades desconocidas

Siguiente tema sugerido

Representación de áreas de rectángulos con expresiones de la forma ax² + bx + c

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Ejemplos de uso de la expresión $a x^{2}+b x+c$ para representar áreas de figuras geométricas

Para determinar el área de un cuadrado o rectángulo, se debe multiplicar la base de la fi gura por su altura. En caso de desconocer las medidas de los lados, puede emplearse una literal para representar el lado más corto y, en función de esta medida,representar el largo del otro lado. Así, en este caso el producto será una expresión algebraica de segundo grado.

En la siguiente tabla se muestra la representación geométrica de un cuadrado y su ecuación para indicar el área (A).

茶

Cuadrado	Area (A)
X	El área se relaciona con las medidas desconocidas de los lados. Sise conoce su área, es posible determinar la longitud de los lados. $A=x\circ x=x^{2}$
2.x	Si los lados de un cuadrado miden el doble de la longitud de x, el área aumenta. El cuadrado verde cabe cuatro veces en el azul,es decir, el área del cuadrado azul es cuatro veces la del cuadrado verde. La ecuación que relaciona el área y las medidas de los lados se expresa como: $A=2x\cdot2x=4x^{2}$ $\text{[math]}$ src="imgs/img_in_image_box_745_1070_905_1247.jpg" alt="Image" />