Área de cuadrados y rectángulos: del modelo geométrico a la expresión algebraica
Respuesta rápida
Rectángulo: A=x^{2}+bx. Figura compuesta: A=2x+1. Se verifica sumando áreas parciales: x+x+1=2x+1.
Solución — Página 21
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Paso 1
Se parte de un cuadrado de lado x. Si se incrementa la longitud de dos lados opuestos (la base) en una cantidad b, se obtiene un rectángulo de base x+b y altura x.
- Área del cuadrado original: A = x \cdot x = x^{2}.
- Área del rectángulo obtenido: A = (x+b)(x).
- Se aplica la propiedad distributiva: A = x \cdot x + x \cdot b = x^{2} + bx.
Respuesta orientativa: el área del rectángulo es A = x^{2} + bx, expresión que relaciona la longitud x con el incremento b mediante una ecuación cuadrática.
Paso 2
Se analiza la figura formada por un cuadrado grande de lado x y una franja compuesta por dos rectángulos de lados x y 1, más un cuadrado pequeño de lado 1.
- Largo total de la figura: al sumar las longitudes x, x y 1 se obtiene 2x+1.
- Área total como producto del largo por el ancho: A = (2x+1)(1) = 2x+1.
- Verificación por descomposición: cada rectángulo tiene área x \cdot 1 = x; hay dos rectángulos, entonces 2x. El cuadrado pequeño tiene área 1 \cdot 1 = 1.
- Suma de áreas parciales: A = x + x + 1 = 2x + 1.
Respuesta orientativa: ambas estrategias coinciden: el área total de la figura es A = 2x + 1, lo que muestra que un mismo polinomio puede obtenerse multiplicando dimensiones o sumando áreas parciales.
Paso 3
Interpretación algebraica del modelo geométrico.
- El producto (x+b)(x) genera un término cuadrático x^{2} y un término lineal bx.
- El producto (2x+1)(1) genera solo términos lineales y constantes: 2x+1.
- Estas representaciones permiten visualizar la factorización y la expansión de expresiones algebraicas.
Respuesta orientativa: el modelo geométrico de áreas es una herramienta para comprender la distributividad y prepara el estudio de la factorización y de las ecuaciones cuadráticas.
Contenido de la página
Al incrementar la longitud de dos lados opuestos del cuadrado en una cantidad b, se obtiene un rectángulo. Es decir, al incrementar la base del cuadrado, su área también incrementa.
| Rectángulo | Área (A) |
|---|---|
| Figura: rectángulo de altura x y base x+b | A = x(x+b) = x^{2} + bx |
| A = x^{2} + bx | |
| El producto de la base por la altura relaciona las medidas de los lados con el área del rectángulo. Se logra relacionar la longitud (x) y el incremento (b) con el área en una ecuación cuadrática. |
Con base en el aumento de las áreas, se presentan los siguientes cuadrados y rectángulos:
| Cuadrados y rectángulos | Área (A) |
|---|---|
| Cuadrado de lado x | A = x^{2} |
| Figura compuesta por dos rectángulos de lados x y 1, y un cuadrado de lado 1 | Al sumarse las longitudes x, x y 1, se establece el largo de la figura: 2x+1 |
| El área total de la figura se calcula como: | |
| A = (2x+1)(1) | |
| A = 2x+1 | |
| También es posible determinar el área de cada figura, es decir, el área de cada rectángulo es: | |
| x \cdot 1 = x | |
| Por su parte, el área del cuadrado es 1. | |
| Al sumar las áreas de los rectángulos y el cuadrado, se determina el área total de la figura: | |
| A = 2x+1 |
Ejemplos resueltos
Un cuadrado de lado x aumenta su base en b. ¿Cuál es el área del rectángulo resultante?
La base del rectángulo es x+b y su altura es x. Entonces A = (x+b)(x) = x^{2}+bx.
Determina el área total de una figura formada por dos rectángulos de x por 1 y un cuadrado de 1 por 1.
Área de cada rectángulo: x \cdot 1 = x. Área de dos rectángulos: 2x. Área del cuadrado: 1. Área total: A = 2x+1.
Tablas (2)
| Rectángulo | Área (A) |
|---|---|
| Rectángulo de altura x y base x+b | A = x(x+b) = x^{2} + bx |
| Cuadrados y rectángulos | Área (A) |
|---|---|
| Cuadrado de lado x | A = x^{2} |
| Dos rectángulos de x por 1 y un cuadrado de 1 por 1 | A = 2x + 1 |
Diagrama
graph LR
A[Cuadrado de lado x] -->|Aumentar base en b| B[Rectángulo de base x+b y altura x]
B --> C[Área = x(x+b)]
C --> D[Área = x² + bx]
Fórmulas y ecuaciones
A = x^{2} + bx
A = 2x + 1
A = x(x+b) = x^{2} + bx
A = x^{2} + bx
A = x^{2}
2x + 1
A = (2x+1)(1)
A = 2x + 1
x \cdot 1 = x
Glosario (4)
- Área
- Medida de la superficie de una figura, expresada en unidades cuadradas.
- Incremento
- Cantidad que se suma a una longitud original; en la página se representa con la letra $b$.
- Ecuación cuadrática
- Ecuación en la que la variable aparece elevada al cuadrado, como $x^{2}+bx$.
- Expresión algebraica
- Combinación de números, variables y operaciones, por ejemplo $2x+1$.
Preguntas para practicar
¿Por qué al aumentar la base de un cuadrado su área también aumenta?
Porque el área depende del producto de la base por la altura. Al incrementar la base en $b$, el nuevo producto es $(x+b)x = x^{2}+bx$, que es mayor que $x^{2}$ cuando $b>0$.
¿Qué relación existe entre el modelo geométrico de áreas y la propiedad distributiva?
El modelo geométrico muestra visualmente la distributividad: el rectángulo de base $x+b$ se descompone en un cuadrado de área $x^{2}$ y un rectángulo de área $bx$, lo que equivale a multiplicar $x$ por cada término de la suma.
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se obtiene la expresión x² + bx al aumentar la base de un cuadrado?
¿Por qué el área de la figura compuesta es 2x + 1?
¿Para qué sirve representar expresiones algebraicas con áreas?
- • Área de cuadrados y rectángulos
- • Multiplicación de monomios
- • Propiedad distributiva
- • Uso de variables para representar longitudes
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1254 caracteres
Al incrementar la longitud de dos lados opuestos del cuadrado en una cantidad b, se obtiene un rectángulo. Es decir, al incrementar la base del cuadrado, su área también incrementa.
Con base en el aumento de las áreas, se presentan los siguientes cuadrados y rectángulos:
20
| Rectángulo | Area(A) |
| 6 x+b | Elproducto de la base por la altura relaciona las medidas de los lados con el área del rectángulo. Se logra relacionar la longitud (x) y el incremento (b) con el área en una ecuación cuadrática. A=x(x+b)=x^{2}+bx A=x^{2}+bx |
| Cuadrados y rectángulos | Area(A) |
| A=x^{2} | |
| Al sumarse las longitudes x, x y 1, se establece el largo de la figura: El área total de la figura se calcula como: También es posible determinar el área de cada figura, es decir, el área de cada rectángulo es: Por su parte, el área del cuadrado es 1. Al sumar las áreas de los rectángulos y el cuadrado, se determina el área total de la figura: x\circ1=x A=2x+1 2x+1 \begin{aligned}A&=(2x+1)(1)\\A&=2x+1\end{aligned} | |
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