Ejercicio 1
Análisis de la página
La página es de teoría: no contiene ejercicios numerados, sino la explicación de cómo el área de figuras planas se representa con una expresión cuadrática de la forma ax^{2}+bx+c.
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Representación geométrica del área con expresiones cuadráticas ax² + bx + c
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Respuesta rápida
A = x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}. La expresión ax^{2}+bx+c representa el área total de la figura compuesta.
📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura
Solución — Página 22
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Ejercicio 1
Interpretación de la figura compuesta
La figura está formada por cuatro piezas:
- Un cuadrado grande de lado x: área x^{2}.
- Dos rectángulos de lados x y 1: área x cada uno, total 2x.
- Un cuadrado pequeño de lado 1: área 1.
Ejercicio 2
Suma de las áreas
A = x^{2} + x + x + 1
A = x^{2} + 2x + 1
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Ejercicio 3
Verificación geométrica
La figura completa es un cuadrado de lado x+1, por lo que su área también es:
A = (x+1)^{2} = x^{2}+2x+1
Ambas expresiones coinciden, lo que confirma que la suma de las áreas parciales representa el área total.
Ejercicio 4
Idea central
Una expresión de la forma ax^{2}+bx+c representa geométricamente el área de figuras planas cuando la incógnita x está asociada a la medida de un lado desconocido. Si se conoce el área, la ecuación permite determinar el valor de x.
Respuesta orientativa: La expresión A=x^{2}+2x+1 es la suma de las áreas de un cuadrado de lado x, dos rectángulos de x por 1 y un cuadrado de lado 1; equivale al área del cuadrado de lado x+1.
Contenido de la página
Cuadrados y rectángulos
| Cuadrados y rectángulos | Área (A) |
|---|---|
| Figura compuesta por un cuadrado de lado x, dos rectángulos de x por 1 y un cuadrado de lado 1 | Al usar el cuadrado y los rectángulos previos, es posible presentar otro cuadrado y determinar el área total como la suma de sus áreas. La suma de las áreas forma una ecuación cuadrática que representa el área total de la figura presentada. A = x^{2} + 2x + 1 |
En las tablas anteriores se mostró que el área de cuadrados y rectángulos puede representarse con una expresión cuadrática.
Una expresión de la forma ax^{2}+bx+c representa geométricamente el área de figuras planas, lo cual ocurre cuando la incógnita está asociada a la medida de alguno de los lados desconocidos. En ocasiones se conoce el área y se usa la ecuación para determinar el valor desconocido x.
Se mostraron representaciones algebraicas de áreas en cuadrados y rectángulos. Además, fue posible construir con los cuadrados y rectángulos una figura cuya expresión algebraica es de la forma:
ax^{2}+bx+c
La expresión relaciona el área total de la figura construida con las medidas desconocidas de sus lados.
Ejemplos resueltos
Determinar el área total de la figura formada por un cuadrado de lado x, dos rectángulos de x por 1 y un cuadrado de lado 1.
- Área del cuadrado grande: x \cdot x = x^{2}.
- Área de cada rectángulo: x \cdot 1 = x; como son dos, suman 2x.
- Área del cuadrado pequeño: 1 \cdot 1 = 1.
- Suma total: A = x^{2} + 2x + 1.
- Verificación: la figura completa es un cuadrado de lado x+1, entonces A=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.
Tabla
| Cuadrados y rectángulos | Área (A) |
|---|---|
| Cuadrado de lado x | x^{2} |
| Dos rectángulos de x por 1 | 2x |
| Cuadrado de lado 1 | 1 |
| Figura completa | x^{2}+2x+1 |
Diagrama
graph TD
A[Figura compuesta] --> B[Cuadrado de lado x]
A --> C[Dos rectangulos de x por 1]
A --> D[Cuadrado de lado 1]
B --> E[Area = x^2]
C --> F[Area = 2x]
D --> G[Area = 1]
E --> H[Area total = x^2 + 2x + 1]
F --> H
G --> H
H --> I[Equivale a (x+1)^2]
Fórmulas y ecuaciones
A = x^{2} + 2x + 1
A = (x+1)^{2}
ax^{2}+bx+c
A = x^{2} + 2x + 1
A = (x+1)^{2}
ax^{2}+bx+c
Glosario (4)
- Expresión cuadrática
- Expresión algebraica de la forma ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.
- Área
- Medida de la superficie de una figura plana.
- Incógnita
- Valor desconocido representado generalmente por una letra, como x.
- Trinomio cuadrado perfecto
- Expresión de la forma a² + 2ab + b² que proviene de elevar un binomio al cuadrado.
Preguntas para practicar
¿Por qué la expresión $x^{2}+2x+1$ también se puede escribir como $(x+1)^{2}$?
Porque la figura completa es un cuadrado cuyo lado mide $x+1$. Al elevar ese binomio al cuadrado se obtiene $x^{2}+2x+1$, que coincide con la suma de las áreas de las cuatro piezas que forman la figura.
¿En qué situación se usaría la ecuación cuadrática para encontrar el valor de $x$?
Cuando se conoce el área total de la figura pero no la medida del lado desconocido. Entonces se plantea la ecuación $ax^{2}+bx+c = A$ y se resuelve para encontrar el valor de $x$.
Temas y conceptos clave
Representación geométrica de expresiones cuadráticasÁrea como suma de áreas parcialesForma general ax² + bx + cExpresión cuadráticaÁrea totalIncógnita xCuadrado de lado x+1Suma de áreas
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Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se representa el área de un cuadrado con una expresión algebraica?
Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.
¿Qué significa la expresión ax² + bx + c en geometría?
Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.
¿Cómo se factoriza x² + 2x + 1?
Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.
📌 Antes de leer esto
- • Área de cuadrados y rectángulos
- • Monomios y polinomios
- • Multiplicación de expresiones algebraicas
- • Concepto de incógnita
Siguiente tema sugerido
Factorización de trinomios cuadrados perfectos y resolución de ecuaciones cuadráticas
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1145 caracteres
En las tablas anteriores se mostró que el área de cuadrados y rectángulos puede representarse con una expresión cuadrática.
Una expresión de la forma ax^{2}+bx+c representa geométricamente el área de figuras planas, lo cual ocurre cuando la incógnita está asociada a la medida de alguno de los lados desconocidos. En ocasiones se conoce el área y se usa la ecuación para determinar el valor desconocido x.
Se mostraron representaciones algebraicas de áreas en cuadrados y rectángulos. Además, fue posible construir con los cuadrados y rectángulos una figura cuya expresión algebraica es de la forma:
ax^{2}+bx+c
福
La expresión relaciona el área total de la figura construida con las medidas desconocidas de sus lados.
东
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| Cuadrados y rectangulos | Area(A) |
| x 0 X | Al usar el cuadrado y los rectángulos previos, es posible presentar otro cuadrado y determinar el área total como la suma de sus áreas. La suma de las áreas forma una ecuación cuadrática que representa el área total de la figura presentada. A=x^{2}+2x+1 |
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