Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2

SEP/CONALITEG

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Comprensión de las operaciones algebraicas mediante propiedades de los exponentes

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Respuesta rápida

$a^n a^m=a^{n+m}$ ; $a^n/a^m=a^{n-m}$ ; $(a^n)^m=a^{nm}$ ; $a^0=1$ ( $a\ne0$ ). Ejemplos: $3^5=243$ , $7^2=49$ , $4^6=4096$ .

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Solución — Página 24

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Contenido: potenciación y propiedades de los exponentes

La potenciación es una multiplicación reiterada: la base $a$ se multiplica por sí misma tantas veces como indique el exponente $n$ .

$a^{n}=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{veces}}=b$

Elementos: $a$ es la base, $n$ el exponente y $b$ la potencia (resultado).

Ejemplos de la página:

$2^{5}=2\times2\times2\times2\times2=32$
$3^{4}=3\times3\times3\times3=81$

Propiedades de los exponentes

Ejercicio 1

Multiplicación de potencias de igual base

$a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$

Se conserva la base y se suman los exponentes.

$y^{2}\times y^{3}=y^{2+3}=y^{5}$
$3^{1}\times3^{4}=3^{1+4}=3^{5}=243$

Ejercicio 2

División de potencias de igual base ($a\ne0$)

$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$

Se conserva la base y se restan los exponentes (numerador menos denominador).

$\frac{a^{8}}{a^{6}}=a^{8-6}=a^{2}$
$\frac{7^{5}}{7^{3}}=7^{5-3}=7^{2}=49$

Ejercicio 3

Potencia de una potencia

$(a^{n})^{m}=a^{n\times m}$

Se conserva la base y se multiplican los exponentes.

$(y^{n})^{m}=y^{n\times m}$
$(4^{2})^{3}=4^{2\times3}=4^{6}=4096$

Ejercicio 4

Potencia con exponente cero ($a\ne0$)

$a^{0}=1$

Toda potencia con exponente cero vale uno si la base es distinta de cero.

$x^{0}=1$ , con $x\ne0$
$9^{0}=1$

Respuesta

Las cuatro propiedades permiten simplificar productos, cocientes y potencias de potencias conservando la base y operando con los exponentes.

Contenido de la página

Comprensión de las operaciones algebraicas mediante propiedades de los exponentes

La potenciación se puede pensar como la abreviatura de una multiplicación, es decir, es una simplificación de una multiplicación reiterada, cuya base corresponde al factor que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente.

$a^{n}=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{veces}}=b$

Los elementos de la potenciación son base, exponente y potencia, donde $a$ es la base, $n$ el exponente y el resultado $b$ se denomina potencia.

Después de multiplicar $a$ consigo misma $n$ veces, el resultado es $b$ . Ejemplos:

$2^{5}=2\times2\times2\times2\times2=32\qquad 3^{4}=3\times3\times3\times3=81$

En la siguiente tabla se muestran las propiedades de los exponentes, la expresión que describe a cada una y algunos ejemplos.

Propiedad	Expresión	Explicación	Ejemplos
Multiplicación de potencias	$a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$	Al multiplicar potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la suma de los exponentes de las bases.	$y^{2}\times y^{3}=y^{2+3}=y^{5}$ ; $3^{1}\times3^{4}=3^{1+4}=3^{5}=243$
División de potencias	Con $a$ distinto de cero: $\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$	Al dividir potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la diferencia de los exponentes de la potencia del numerador y del denominador.	$\frac{a^{8}}{a^{6}}=a^{8-6}=a^{2}$ ; $\frac{7^{5}}{7^{3}}=7^{5-3}=7^{2}=49$
Potencia de una potencia	$(a^{n})^{m}=a^{n\times m}$	Al elevar una potencia a otra potencia, el resultado conserva la base y el exponente es el producto de los exponentes.	$(y^{n})^{m}=y^{n\times m}$ ; $(4^{2})^{3}=4^{2\times3}=4^{6}=4096$
Potencia con exponente cero	Si $a$ es distinto de cero, $a^{0}=1$	Toda potencia con exponente cero es igual a uno, siempre y cuando la base sea diferente de cero.	$x^{0}=1$ , con $x\ne0$ ; $9^{0}=1$

Ejemplos resueltos

Expresar $2^{5}$ como multiplicación reiterada y calcular su valor.

$2^{5}=2\times2\times2\times2\times2=32$

Expresar $3^{4}$ como multiplicación reiterada y calcular su valor.

$3^{4}=3\times3\times3\times3=81$

Simplificar $y^{2}\times y^{3}$ .

$y^{2}\times y^{3}=y^{2+3}=y^{5}$

Calcular $3^{1}\times3^{4}$ .

$3^{1}\times3^{4}=3^{1+4}=3^{5}=243$

Simplificar $\frac{a^{8}}{a^{6}}$ .

$\frac{a^{8}}{a^{6}}=a^{8-6}=a^{2}$

Calcular $\frac{7^{5}}{7^{3}}$ .

$\frac{7^{5}}{7^{3}}=7^{5-3}=7^{2}=49$

Simplificar $(y^{n})^{m}$ .

$(y^{n})^{m}=y^{n\times m}$

Calcular $(4^{2})^{3}$ .

$(4^{2})^{3}=4^{2\times3}=4^{6}=4096$

Aplicar la propiedad del exponente cero a $x^{0}$ y $9^{0}$ .

$x^{0}=1$ con $x\ne0$ ; $9^{0}=1$

Tabla

Propiedad	Expresión	Explicación	Ejemplos
Multiplicación de potencias	$a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$	Al multiplicar potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la suma de los exponentes de las bases.	$y^{2}\times y^{3}=y^{2+3}=y^{5}$ ; $3^{1}\times3^{4}=3^{1+4}=3^{5}=243$
División de potencias	Con $a$ distinto de cero: $\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$	Al dividir potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la diferencia de los exponentes de la potencia del numerador y del denominador.	$\frac{a^{8}}{a^{6}}=a^{8-6}=a^{2}$ ; $\frac{7^{5}}{7^{3}}=7^{5-3}=7^{2}=49$
Potencia de una potencia	$(a^{n})^{m}=a^{n\times m}$	Al elevar una potencia a otra potencia, el resultado conserva la base y el exponente es el producto de los exponentes.	$(y^{n})^{m}=y^{n\times m}$ ; $(4^{2})^{3}=4^{2\times3}=4^{6}=4096$
Potencia con exponente cero	Si $a$ es distinto de cero, $a^{0}=1$	Toda potencia con exponente cero es igual a uno, siempre y cuando la base sea diferente de cero.	$x^{0}=1$ , con $x\ne0$ ; $9^{0}=1$

Diagrama

flowchart TD
  A[Potenciación] --> B[Base: factor que se repite]
  A --> C[Exponente: número de veces]
  A --> D[Potencia: resultado]
  A --> E[Propiedades]
  E --> F[Multiplicación: a^n × a^m = a^(n+m)]
  E --> G[División: a^n ÷ a^m = a^(n-m)]
  E --> H[Potencia de potencia: (a^n)^m = a^(n×m)]
  E --> I[Exponente cero: a^0 = 1]

Fórmulas y ecuaciones

$a^{n}\times$ $a^{m}=a^{n+m}$

$\frac{a^{n}}{a^{m}}$ $=a^{n-m}$

$(a^{n})^{m}=a^{n\times$ m}

$a^{0}=1,\$ $a\ne0$

$a^{n}=@@MATH_0@@_{n\$ $\text{veces}$ }=b

$a^{n}\times$ $a^{m}=a^{n+m}$

$\frac{a^{n}}{a^{m}}$ $=a^{n-m}$

$(a^{n})^{m}=a^{n\times$ m}

$a^{0}=1$

Glosario (5)

Potenciación: Operación que abrevia una multiplicación reiterada de un mismo factor.
Base: Factor que se multiplica por sí mismo en una potencia.
Exponente: Número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
Potencia: Resultado de elevar una base a un exponente.
Exponente cero: Propiedad que indica que toda base distinta de cero elevada a cero es igual a 1.

Preguntas para practicar

¿Por qué la potenciación se considera una multiplicación abreviada?

Porque permite escribir de forma compacta el producto de un mismo factor repetido varias veces. En lugar de escribir $2\times2\times2\times2\times2$, se escribe $2^{5}$, donde la base es el factor repetido y el exponente indica cuántas veces se repite.

¿Qué diferencia hay entre multiplicar potencias de igual base y elevar una potencia a otra potencia?

En la multiplicación de potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes: $a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$. En la potencia de una potencia también se conserva la base, pero los exponentes se multiplican: $(a^{n})^{m}=a^{n\times m}$.

Temas y conceptos clave

PotenciaciónPropiedades de los exponentesOperaciones algebraicasbaseexponentepotenciamultiplicación reiteradaleyes de los exponentes

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Esquema con tres recuadros que señalan los elementos de la potencia: exponente, base y potencia, unidos a la expresión $a^{n}=b$. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se multiplican potencias con la misma base?

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¿Por qué cualquier número elevado a cero es igual a uno?

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¿Cuál es la diferencia entre potencia de una potencia y producto de potencias?

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación y división de números enteros
• Concepto de base y exponente
• Uso de literales para representar números

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Exponentes negativos y notación científica

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2267 caracteres

Comprensión de las operaciones algebraicas mediante propiedades de los exponentes

$a^{n}=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n 它侈 }=b$

Los elementos de la potenciación son base, exponente y potencia, donde a es la base, n el exponente y el resultado b se denomina potencia.

Después de multiplicar a consigo misma n veces, el resultado es b. Ejemplos:

$2^{5}=2\times2\times2\times2\times2=32\quad3^{4}=3\times3\times3\times3=81$

En la siguiente tabla se muestran las propiedades de los exponentes, la expresión que describe a cada una y algunos ejemplos.

茶

![](page=0,bbox=[603, 680, 874, 771])

Propiedad	Expresión	Explicación	Ejemplos
Multiplicación de potencias	$\alpha^{n}\times\alpha^{m}=\alpha^{n+m}$	Al multiplicar potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la suma de los exponentes de las bases.	$y^{2}\times y^{3}=y^{2+3}=y^{5}$ $3^{1}\times3^{4}=3^{1+4}=3^{5}=243$
División de potencias	Con a distinto de cero $\frac{\alpha^{n}}{\alpha^{m}}=\alpha^{n-m}$	Al dividir potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la diferencia de los exponentes de la potencia del numerador y del denominador.	$\frac{a^{8}}{a^{6}}=a^{8-6}=a^{2}$ $\frac{7^{5}}{7^{3}}=7^{5-3}=7^{2}=49$
Potencia de una potencia	$(\alpha^{n})^{m}=\alpha^{n\times m}$	Al elevar una potencia a otra potencia, el resultado conserva la base y el exponente es el producto de los exponentes.	$(y^{n})^{m}=y^{n\times m}$ $(4^{2})^{3}=4^{2\times3}=4^{6}$ $=4096$
Potencia con exponente cero	Si a es distinto de cero, $a^{0}=1$	Toda potencia con exponente cero es igual a uno, siempre y cuando la base sea diferente de cero.	$x^{0}=1,\cos x\ne0$ $9^{\circ}=1$

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