Propiedades de las potencias: producto, cociente y exponente negativo
Respuesta rápida
Ejemplo 1: x^{3}+x^{5}. Ejemplo 2: y^{13}.
Solución — Página 25
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Ejemplo 1
Realizar la operación aplicando las propiedades de las potencias: x^{2}(x+x^{3}).
- Se identifica un producto de dos factores: x^{2} y (x+x^{3}).
- Se aplica la propiedad distributiva: x^{2}\cdot x + x^{2}\cdot x^{3}.
- Se aplica la multiplicación de potencias de igual base: x^{2+1}+x^{2+3}.
- Se simplifican los exponentes: x^{3}+x^{5}.
Respuesta: x^{3}+x^{5}.
Ejemplo 2
Utilizar las propiedades de las potencias para resolver: \dfrac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}.
- En el numerador se multiplican potencias de igual base: y^{10}\cdot y^{5}=y^{10+5}=y^{15}.
- La expresión queda: \dfrac{y^{15}}{y^{2}}.
- Se aplica la división de potencias de igual base: y^{15-2}=y^{13}.
Respuesta: y^{13}.
Propiedades de las potencias
| Propiedad | Expresión | Explicación | Ejemplos |
|---|---|---|---|
| Potencias de producto | (a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n} | La potencia de una multiplicación es igual a la multiplicación de las potencias; se distribuye la potencia sobre el producto. | (2\times5)^{4}=2^{4}\times5^{4}=16\times625=10\,000 |
| Potencias de cocientes | \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}, con b\ne0 | La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias; se distribuye la potencia sobre la división. | \left(\dfrac{2}{3}\right)^{4}=\dfrac{2^{4}}{3^{4}}=\dfrac{16}{81} |
| Potencias con exponente negativo | a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}, con a\ne0 | La potencia negativa es igual al inverso multiplicativo de la cantidad; su potencia cambia de signo. | x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}, 5^{-1}=\dfrac{1}{5} |
Contenido de la página
Enseguida se muestran ejemplos para comprender con más detalle cómo se aplican las propiedades de las potencias.
Ejemplo 1
Realizar la siguiente operación aplicando las propiedades de las potencias: x^{2}(x+x^{3}).
Obsérvese que se tiene un producto de dos factores: el primero es x^{2} y el segundo, x+x^{3}. Entonces, se aplica la propiedad distributiva y la multiplicación de potencia: primero con x^{2} y x, después x^{2} con x^{3}:
x^{2}x+x^{2}x^{3}=x^{2+1}+x^{2+3}=x^{3}+x^{5}
En este ejemplo se utilizó dos veces la multiplicación de potencias.
Ejemplo 2
Utilizar las propiedades de las potencias para resolver la siguiente expresión:
\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}
Para resolverla se aplicarán dos propiedades de las potencias: en el numerador se multiplicarán las potencias y después el resultado se dividirá entre el denominador. Se inicia por el numerador.
\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}=\frac{y^{10+5}}{y^{2}}=\frac{y^{15}}{y^{2}}
Tabla de propiedades
| Propiedad | Expresión | Explicación | Ejemplos |
|---|---|---|---|
| Potencias de producto | (a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n} | La potencia de una multiplicación es igual a la multiplicación de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre el producto. | (2\times5)^{4}=2^{4}\times5^{4}=16\times625=10\,000 |
| Potencias de cocientes | \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}, con b distinto de cero | La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre la división. | \left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{16}{81} |
| Potencias con exponente negativo | a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, con a distinto de cero | La potencia negativa es igual al inverso multiplicativo de la cantidad. Su potencia cambia de signo. | x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}, 5^{-1}=\frac{1}{5} |
Ejemplos resueltos
Realizar la siguiente operación aplicando las propiedades de las potencias: x^{2}(x+x^{3}).
Se aplica la propiedad distributiva: x^{2}\cdot x+x^{2}\cdot x^{3}. Luego se multiplican potencias de igual base: x^{2+1}+x^{2+3}=x^{3}+x^{5}.
Utilizar las propiedades de las potencias para resolver: \frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}.
En el numerador se multiplican las potencias: y^{10}\cdot y^{5}=y^{15}. Luego se divide entre y^{2}: \frac{y^{15}}{y^{2}}=y^{15-2}=y^{13}.
Tabla
| Propiedad | Expresión | Explicación | Ejemplos |
|---|---|---|---|
| Potencias de producto | (a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n} | La potencia de una multiplicación es igual a la multiplicación de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre el producto. | (2\times5)^{4}=2^{4}\times5^{4}=16\times625=10\,000 |
| Potencias de cocientes | \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}, con b distinto de cero | La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre la división. | \left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{16}{81} |
| Potencias con exponente negativo | a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, con a distinto de cero | La potencia negativa es igual al inverso multiplicativo de la cantidad. Su potencia cambia de signo. | x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}, 5^{-1}=\frac{1}{5} |
Fórmulas y ecuaciones
(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}
\left(@@MATH_0@@\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}
\left(@@MATH_0@@\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
x^{2}(x+x^{3})=x^{3}+x^{5}
\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}=\frac{y^{15}}{y^{2}}
Glosario (4)
- Potencia
- Producto de un número multiplicado por sí mismo varias veces.
- Base
- Número que se multiplica por sí mismo en una potencia.
- Exponente
- Número que indica cuántas veces se multiplica la base.
- Inverso multiplicativo
- Número que multiplicado por otro da como resultado 1.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (1)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se multiplican potencias de la misma base?
¿Qué pasa cuando un exponente es negativo?
¿Cómo se distribuye una potencia sobre un producto o cociente?
- • Concepto de potencia y base
- • Multiplicación y división de números enteros
- • Propiedad distributiva
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2072 caracteres
Enseguida se muestran ejemplos para comprender con más detalle cómo se aplican las propiedades de las potencias.
Ejemplo 1
Realizar la siguiente operación aplicando las propiedades de las potencias:x^{2}(x+x^{3}) 1
Obsérvese que se tiene un producto de dos factores: el primero es x^{2}y elsegundo,x+x^{3} . Entonces, se aplica la propiedad distributiva y la multiplicación de potencia: primero con x^{2}y x, ,después x^{2} con x^{3};
x^{2}x+x^{2}x^{3}=x^{2+1}+x^{2+3}=x^{3}+x^{5}
En este ejemplo se utilizó dos veces la multiplicación de potencias.
Ejemplo2
Utilizar las propiedades de las potencias para resolver la siguiente expresión:
Para resolverla se aplicarán dos propiedades de las potencias: en el numerador se multiplicarán las potencias y después el resultado se dividirá entre el denominador. Se inicia por el numerador.
\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}=\frac{y^{10+5}}{y^{2}}=\frac{y^{15}}{y^{2}}
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| Propiedad | Expresión | Explicación | Ejemplos |
| Potencias de producto | (\alpha\times b)^{n}=\alpha^{n}\times b^{n} | La potencia de una multiplicación es igual a la multiplicación de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre el producto. | (2\times5)^{4}=2^{4}\times5^{4} \begin{aligned}&=16\times625\\&=10\ 000\end{aligned} |
| Potencias de cocientes | Con b distinto de cero \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} | La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre la división. | \left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{16}{81} |
| Potencias con exponente negativo | Con a distinto de cero \alpha^{-n}=\frac{1}{\alpha^n} | La potencia negativa es igual al inverso multiplicativo de la cantidad. Su potencia cambia de signo. | x^{-2}=\frac{1}{x^2} 5^{-1}=\frac{1}{5} |
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