Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2

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Ejemplo 4: Crecimiento exponencial de bacterias y leyes de los exponentes

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Respuesta rápida

$N(t)=2^{t}$ ; con el factor 3: $2^{t}\times 3^{t}=6^{t}$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 27

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 4

Una bacteria se duplica cada segundo. Se pide la expresión que modela el número de bacterias según los segundos transcurridos $t$ y analizar el efecto de introducir otra bacteria que acelera la reproducción en un factor $3$ .

Identificamos el patrón de crecimiento a partir de la tabla:
- $t=0$ : $2^{0}=1$ bacteria.
- $t=1$ : $2^{1}=2$ bacterias.
- $t=2$ : $2^{2}=4$ bacterias.
Observamos que cada segundo la cantidad se multiplica por $2$ , por lo que el número de bacterias es una potencia de base $2$ con exponente igual al tiempo transcurrido.
Escribimos la expresión general: $N(t)=2^{t}$
Para el caso con la segunda bacteria que acelera la reproducción en un factor $3$ , la cantidad se multiplica por $3^{t}$ . Aplicamos la propiedad de potencias de productos: $2^{t}\times 3^{t}=(2\times 3)^{t}=6^{t}$
Verificamos con $t=2$ : $2^{2}\times 3^{2}=4\times 9=36$ y $6^{2}=36$ . Coinciden.

Respuesta: La expresión es $N(t)=2^{t}$ y, con el factor $3$ , la reproducción se modela como $6^{t}$ .

Contenido de la página

Ejemplo 4

Una bacteria se reproduce rápidamente. Cada segundo se duplica la cantidad de microorganismos existentes, es decir, después de un segundo ya se tendrán dos bacterias; habrá cuatro bacterias después de dos segundos; después de tres segundos se tendrán ocho bacterias, y así sucesivamente (ver tabla).

La expresión que permite determinar el número de bacterias según los segundos transcurridos $t$ es $2^{t}$ .

Segundos	Número de bacterias
0	$2^{0}=1$
1	$2^{1}=2$
2	$2^{2}=4$

Al suponer que se introduce otra bacteria que acelera su reproducción en un factor $3$ ; al multiplicar las cantidades se utiliza la propiedad de potencias de productos para determinar la reproducción:

$2^{t}\times 3^{t}=(2\times 3)^{t}=6^{t}$

Las leyes de los exponentes son esenciales para comprender y resolver las operaciones algebraicas e identificar cada propiedad de los exponentes. Saber cómo aplicarlas es esencial para resolver operaciones algebraicas.

Las leyes de los exponentes son útiles para resolver operaciones algebraicas en problemas de aplicación en distintos ámbitos de las ciencias, como la física, en la que se utilizan para expresar cantidades muy pequeñas o muy grandes; en computación, para crear algoritmos y el conteo binario; en biología, para estudiar el crecimiento exponencial de algunas bacterias y virus; en economía y finanzas, para hacer proyecciones de ganancias y pérdidas, así como estimar el comportamiento del mercado financiero.

Ejemplos resueltos

Una bacteria se duplica cada segundo. Escribe la expresión que modela el número de bacterias según los segundos transcurridos $t$ y determina la expresión si se introduce otra bacteria que acelera la reproducción en un factor $3$ .

Patrón: $t=0\to 1$ , $t=1\to 2$ , $t=2\to 4$ .
Cada segundo se multiplica por $2$ , entonces $N(t)=2^{t}$ .
Con el factor $3$ : $2^{t}\times 3^{t}$ .
Propiedad de potencias de productos: $2^{t}\times 3^{t}=(2\times 3)^{t}=6^{t}$ .

Respuesta: $N(t)=2^{t}$ y con el factor $3$ : $6^{t}$ .

Tabla

Segundos	Número de bacterias
0	$2^{0}=1$
1	$2^{1}=2$
2	$2^{2}=4$

Diagrama

graph LR
  A[Segundo 0: 1 bacteria] --> B[Segundo 1: 2 bacterias]
  B --> C[Segundo 2: 4 bacterias]
  C --> D[Segundo 3: 8 bacterias]
  D --> E[Segundo t: 2^t bacterias]

Fórmulas y ecuaciones

$a^{n}\times$ $b^{n}=(a\times$ $b)^{n}$

$N(t)=2^{t}$

$2^{t}\times$ $3^{t}=(2\times$ $3)^{t}=6^{t}$

Glosario (4)

Potencia: Producto de multiplicar una base por sí misma tantas veces como indica el exponente.
Exponente: Número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
Propiedad de potencias de productos: El producto de potencias con el mismo exponente es igual a la potencia del producto de las bases: $a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^{n}$.
Crecimiento exponencial: Aumento en el que una cantidad se multiplica por un factor constante en cada intervalo de tiempo.

Preguntas para practicar

¿Por qué las leyes de los exponentes son útiles en distintas ciencias?

Porque permiten expresar y operar cantidades muy grandes o muy pequeñas de forma compacta, como en física con distancias astronómicas, en biología con el crecimiento de bacterias o virus, en computación con el conteo binario y en economía con proyecciones financieras.

Temas y conceptos clave

Leyes de los exponentesCrecimiento exponencialPotencia de un productoPotenciaBaseExponentePropiedad de potencias de productosCrecimiento exponencial

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se modela el crecimiento exponencial de bacterias con potencias?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la propiedad de potencias de productos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Para qué sirven las leyes de los exponentes en la vida real?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de potencia y base
• Multiplicación de números naturales
• Interpretación de tablas de datos

Siguiente tema sugerido

Propiedades de los exponentes: producto, cociente y potencia de potencia

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Ejemplo4

La expresión que permite determinar el número de bacterias según los segundos transcurridos t es 2.

Al suponer que se introduce otra bacteria que acelera su reproducción en un factor 3; al multiplicar las cantidades se utiliza la propiedad de potencias de productos para determinar la reproducción:

$2^{t}\times3^{t}=(2\times3)^{t}=6^{t}$

Las leyes de los exponentes son útiles para resolver operaciones algebraicas en problemas de aplicación en distintos ámbitos de las ciencias, como la fisica, en la que se utilizan para expresar cantidades muy pequeñas o muy grandes; en computación,para crear algoritmos y el conteo binario; en biología, para estudiar el crecimiento exponencial de algunas bacterias y virus; en economia y finanzas, para hacer proyecciones de ganancias y pérdidas, así como estimar el comportamiento del mercado financiero.

Segundos	Número de bacterias
O	$2^{\circ}=1$
1	$2^{1}=2$
2	$2^{2}=4$

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