Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2

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Método de eliminación (suma y resta) para sistemas de ecuaciones lineales 2x2

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Respuesta rápida

$y = 400$

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Solución — Página 36

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Paso 1: Planteamiento del sistema

Se parte del sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

$\begin{cases} 2x + 3y = 2300 \\ 3x + 2y = 2450 \end{cases}$

Al sumar directamente las ecuaciones, ningún término se cancela porque los coeficientes de $x$ ( $2$ y $3$ ) y de $y$ ( $3$ y $2$ ) son distintos.

Paso 2: Igualar coeficientes de $x$

Se elige eliminar la incógnita $x$ . Para ello, los coeficientes de $x$ deben ser el mismo número con signo contrario.

Se multiplica la primera ecuación por el coeficiente de $x$ de la segunda, que es $3$ .
Se multiplica la segunda ecuación por el coeficiente de $x$ de la primera, que es $2$ .

$\begin{cases} (3)(2x + 3y) = (3)(2300) \\ (2)(3x + 2y) = (2)(2450) \end{cases}$

$\begin{cases} 6x + 9y = 6900 \\ 6x + 4y = 4900 \end{cases}$

Paso 3: Verificar que $x$ no se cancela

Al sumar los términos con $x$ : $6x + 6x = 12x$ . Como ambos son positivos, no se eliminan. Se obtiene:

$12x + 13y = 11800$

Paso 4: Cambiar el signo de una ecuación

Para cancelar $x$ , basta con cambiar el signo del $3$ que multiplica a la primera ecuación:

$\begin{cases} (-3)(2x + 3y) = (-3)(2300) \\ (2)(3x + 2y) = (2)(2450) \end{cases}$

$\begin{cases} -6x - 9y = -6900 \\ 6x + 4y = 4900 \end{cases}$

Paso 5: Sumar las ecuaciones

$(-6x - 9y) + (6x + 4y) = -6900 + 4900$

$0x - 5y = -2000$

La incógnita $x$ se eliminó y queda una ecuación lineal con una incógnita:

$-5y = -2000$

Paso 6: Despejar $y$ con el inverso multiplicativo

El coeficiente de la incógnita es $-5$ . Se usa la propiedad del inverso multiplicativo para obtener un coeficiente de $1$ . La ecuación se multiplica por $-\frac{1}{5}$ :

$\left(-\frac{1}{5}\right) \times (-5y) = \left(-\frac{1}{5}\right) \times (-2000)$

$\frac{-5y}{-5} = \frac{-2000}{-5}$

$y = 400$

Respuesta: $y = 400$ (valor de la incógnita despejada).

Contenido de la página

El resultado obtenido indica que, al sumar los términos con las mismas incógnitas, ninguna se cancela. Entonces, se elige eliminar una de ellas; por ejemplo, la incógnita $x$ . Para ello, los coeficientes de dicha incógnita deberán ser el mismo número, pero de signo contrario. Una manera de lograrlo es tomar el valor del coeficiente de $x$ de la primera ecuación, que es $2$ , y multiplicarlo por la segunda ecuación; después tomar el coeficiente de $x$ de la segunda ecuación que es $3$ , y multiplicarlo por la primera ecuación.

a) $\begin{cases} (3)\text{ por } 2x + 3y = 2300 \\ (2)\text{ por } 3x + 2y = 2450 \end{cases}$

b) $\begin{cases} 6x + 9y = 6900 \\ 6x + 4y = 4900 \end{cases}$ $12x + 13y = 11800$

En b), la incógnita $x$ no se cancela al sumar ya que ambos términos son positivos. Para cancelar, basta con cambiar el signo del $3$ que multiplica a la ecuación 1.

c) $\begin{cases} (-3)\text{ por } 2x + 3y = 2300 \\ (2)\text{ por } 3x + 2y = 2450 \end{cases}$

d) $\begin{cases} -6x - 9y = -6900 \\ 6x + 4y = 4900 \end{cases}$ $0x - 5y = -2000$

En d), la incógnita $x$ se eliminó, y se obtiene una ecuación lineal con una incógnita: $-5y = -2000$ , la cual se resuelve como sigue:

$-5y = -2000$	El coeficiente de la incógnita es $-5$ . Se usa la propiedad del inverso multiplicativo para tener un coeficiente de $1$ . La ecuación se multiplica por $-\frac{1}{5}$ .
e) $\left(-\frac{1}{5}\right) \times (-5y) = \left(-\frac{1}{5}\right) \times (-2000)$ $\frac{-5y}{-5} = \frac{-2000}{-5}$ $y = 400$	Se aplican las propiedades de la igualdad, el producto se realiza en cada lado de la ecuación.

Ejemplos resueltos

Resolver el sistema $\begin{cases} 2x + 3y = 2300 \\ 3x + 2y = 2450 \end{cases}$ por el método de eliminación.

Se multiplica la primera ecuación por $3$ y la segunda por $2$ para igualar coeficientes de $x$ : $\begin{cases} 6x + 9y = 6900 \\ 6x + 4y = 4900 \end{cases}$ . Al sumar no se cancela $x$ porque ambos son positivos. Se cambia el signo de la primera: $\begin{cases} -6x - 9y = -6900 \\ 6x + 4y = 4900 \end{cases}$ . Sumando: $-5y = -2000$ . Multiplicando por $-\frac{1}{5}$ : $y = 400$ .

Tabla

$-5y = -2000$	El coeficiente de la incógnita es $-5$ . Se usa la propiedad del inverso multiplicativo para tener un coeficiente de $1$ . La ecuación se multiplica por $-\frac{1}{5}$ .
$\left(-\frac{1}{5}\right) \times (-5y) = \left(-\frac{1}{5}\right) \times (-2000)$ $\frac{-5y}{-5} = \frac{-2000}{-5}$ $y = 400$	Se aplican las propiedades de la igualdad, el producto se realiza en cada lado de la ecuación.

Diagrama

flowchart TD
    A[Sistema 2x2] --> B{¿Se cancelan las incógnitas al sumar?}
    B -- No --> C[Igualar coeficientes de x con signos opuestos]
    C --> D[Multiplicar ecuaciones por coeficientes cruzados]
    D --> E[Sumar ecuaciones]
    E --> F[Ecuación lineal con una incógnita]
    F --> G[Despejar con inverso multiplicativo]
    G --> H[y = 400]
    B -- Sí --> F

Fórmulas y ecuaciones

$\left(-@@MATH_0@@\right)$ $\times$ (-5y) = $\left(-@@MATH_1@@\right)$ $\times$ (-2000)

$\frac{-5y}{-5}$ = $\frac{-2000}{-5}$

2x + 3y = 2300

3x + 2y = 2450

6x + 9y = 6900

6x + 4y = 4900

-6x - 9y = -6900

0x - 5y = -2000

-5y = -2000

y = 400

Glosario (4)

Método de eliminación: Técnica para resolver sistemas de ecuaciones que consiste en sumar o restar las ecuaciones para cancelar una de las incógnitas.
Inverso multiplicativo: Número que multiplicado por otro da como resultado 1. Para $-5$ es $-\frac{1}{5}$.
Coeficiente: Número que multiplica a una incógnita en un término algebraico.
Propiedades de la igualdad: Reglas que permiten realizar la misma operación en ambos lados de una ecuación sin alterar la igualdad.

Preguntas para practicar

¿Por qué es necesario que los coeficientes de la incógnita a eliminar tengan signos contrarios?

Porque al sumar las ecuaciones, términos con el mismo valor absoluto y signos opuestos se cancelan y dan cero. Si ambos tienen el mismo signo, se suman en lugar de eliminarse, como ocurre con $6x + 6x = 12x$.

¿Qué propiedad de la igualdad se aplica al multiplicar ambos lados de la ecuación por $-\frac{1}{5}$?

Se aplica la propiedad del inverso multiplicativo y la propiedad uniforme de la igualdad: si se multiplica ambos miembros por el mismo número distinto de cero, la igualdad se conserva.

Temas y conceptos clave

Método de eliminaciónSistemas de ecuaciones lineales 2x2Inverso multiplicativoCoeficientes opuestosCancelación de incógnitasPropiedades de la igualdadEcuación lineal con una incógnita

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones 2x2 por el método de eliminación?

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¿Qué es el inverso multiplicativo y cómo se usa para despejar una incógnita?

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¿Por qué al sumar las ecuaciones no se cancela la incógnita x en el primer intento?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros
• Ecuaciones lineales con una incógnita
• Propiedades de la igualdad
• Mínimo común múltiplo

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Resolución de sistemas de ecuaciones 2x2 por el método de sustitución

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1507 caracteres

El resultado obtenido indica que, al sumar los términos con las mismas incógnitas, ninguna se cancela. Entonces, se elige eliminar una de ellas; por ejemplo, la incógnita x. Para ello, los coeficientes de dicha incógnita deberán ser el mismo número, pero de signo contrario. Una manera de lograrlo es tomar el valor del coefi ciente de x de la primera ecuación, que es 2, y multiplicarlo por la segunda ecuación; después tomar el coeficiente de x de la segunda ecuación que es 3, y multiplicarlo por la primera ecuación.

En b), la incógnita x no se cancela al sumar ya que ambos términos son positivos. Para cancelar, basta con cambiar el signo del 3que multiplica a la ecuación 1.

En d), la incógnita x se eliminó, y se obtiene una ecuación lineal con una incógnita: $-5y=-2000$ , la cual se resuelve como sigue:

求

$-5y=-2000$	El coeficiente de la incógnita es—5.Se usa la propiedad del inverso multiplicativo para tener un coeficiente de 1. La ecuación se multiplica $p o r-\frac{1}{5}$
e) $\begin{align}\left(-\frac{1}{5}\right)\times(-5y)&=\left(-\frac{1}{5}\right)\times(-2000)\\\frac{-5y}{-5}&=\frac{-2000}{-5}\\y&=400\end{align}$	Se aplican las propiedades de la igualdad, el producto se realiza en cada lado de la ecuación.