Resolver el sistema de ecuaciones por el método de igualación: cases x + y = 3500 \ 2x - y = 4000 cases

Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2

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Método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones 2x2

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Respuesta rápida

$x = 2500$ , $y = 1000$ . Máquina grande: $\$ 2500 $; máquina chica:$ $1000$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 39

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Resolver por el método de igualación el sistema:

$\begin{cases} x + y = 3500 \\ 2x - y = 4000 \end{cases}$

Se despeja la misma incógnita, $x$ , en ambas ecuaciones.

Ecuación 1: $x = 3500 - y$

Ecuación 2: $2x = 4000 + y \Rightarrow x = \dfrac{4000 + y}{2}$
Se igualan las dos expresiones obtenidas para $x$ :

$3500 - y = \frac{4000 + y}{2}$
Se multiplica por $2$ en ambos lados para eliminar el denominador:

$(2)\times(3500 - y) = (2)\times\left(\frac{4000 + y}{2}\right)$

$7000 - 2y = 4000 + y$
Se agrupan los términos con $y$ en el lado izquierdo y las constantes en el derecho. Se suma $(-y)$ en ambos lados:

$7000 - 2y + (-y) = 4000 + y + (-y)$

$7000 - 3y = 4000$
Se resta $7000$ en ambos lados:

$(-7000) + 7000 - 3y = (-7000) + 4000$

$-3y = -3000$
Se multiplica por $-\dfrac{1}{3}$ en ambos lados:

$-\frac{1}{3}\times(-3y) = -\frac{1}{3}\times(-3000)$

$y = 1000$
Se sustituye $y = 1000$ en la primera ecuación original para hallar $x$ :

$x + y = 3500$

$x + (1000) = 3500$

$x = 3500 - 1000$

$x = 2500$

Respuesta

La solución del sistema es $x = 2500$ y $y = 1000$ . El costo de la máquina grande es $\$ 2500 $y el de la máquina chica,$ $1000$ .

Contenido de la página

Este sistema se resolverá por el método de igualación, el cual consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones dadas y posteriormente realizar la igualación de ambas expresiones. Se elige la incógnita $x$ , por tanto, se despeja a $x$ de ambas ecuaciones:

Ecuación 1	Ecuación 2
a) $x = 3500 - y$	b) $x = \dfrac{4000 + y}{2}$

Al obtener las expresiones para la incógnita $x$ de ambas ecuaciones, se procede a igualarlas:

$3500 - y = \frac{4000 + y}{2}$

La expresión anterior es una ecuación con una incógnita. Se resuelve simplificando las cantidades constantes para despejar $y$ .

$(2)\times(3500 - y) = (2)\times\left(\frac{4000 + y}{2}\right)$

$7000 - 2y = 4000 + y$

$7000 - 2y + (-y) = 4000 + y + (-y)$

$7000 - 3y = 4000$

$(-7000) + 7000 - 3y = (-7000) + 4000$

$-3y = -3000$

$-\frac{1}{3}\times(-3y) = -\frac{1}{3}\times(-3000)$

$y = 1000$

Se obtuvo el valor de una de las incógnitas. Enseguida se reemplaza este valor de $y$ en cualquiera de las dos ecuaciones originales. Se elige la primera ecuación para determinar el valor de la incógnita $x$ :

$x + y = 3500$

$x + (1000) = 3500$

$x = 3500 - 1000$

$x = 2500$

Entonces, la solución del sistema es $x = 2500$ y $y = 1000$ . Por tanto, el costo de la máquina grande es de $\$ 2500 $y el de la máquina chica,$ $1000$ .

El procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones de $2\times2$ por el método de sustitución puede diferir debido a la elección de la incógnita que se va a despejar, pero esto no perjudica el resultado del sistema, siempre y cuando se resuelva de manera apropiada.

Ejemplos resueltos

Resolver por igualación el sistema $\begin{cases} x + y = 3500 \\ 2x - y = 4000 \end{cases}$

Se despeja $x$ en ambas ecuaciones: $x = 3500 - y$ y $x = \frac{4000 + y}{2}$ . Se igualan: $3500 - y = \frac{4000 + y}{2}$ . Multiplicando por 2: $7000 - 2y = 4000 + y$ . Agrupando: $7000 - 3y = 4000 \Rightarrow -3y = -3000 \Rightarrow y = 1000$ . Sustituyendo en la primera ecuación: $x + 1000 = 3500 \Rightarrow x = 2500$ .

Tabla

Ecuación 1	Ecuación 2
a) $x = 3500 - y$	b) $x = \dfrac{4000 + y}{2}$

Diagrama

flowchart TD
    A[Sistema 2x2] --> B[Despejar x en ecuación 1]
    A --> C[Despejar x en ecuación 2]
    B --> D[Igualar expresiones]
    C --> D
    D --> E[Resolver para y]
    E --> F[Sustituir y en ecuación original]
    F --> G[Obtener x]
    G --> H[Solución: x=2500, y=1000]

Fórmulas y ecuaciones

x = 3500 - y

x = $\frac{4000 + y}{2}$

3500 - y = $\frac{4000 + y}{2}$

x = 3500 - y

x = $\frac{4000 + y}{2}$

3500 - y = $\frac{4000 + y}{2}$

7000 - 2y = 4000 + y

7000 - 3y = 4000

-3y = -3000

y = 1000

x + y = 3500

x = 2500

Glosario (4)

Método de igualación: Técnica para resolver sistemas de ecuaciones que consiste en despejar la misma incógnita en dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.
Incógnita: Valor desconocido de una ecuación, representado generalmente por una letra como $x$ o $y$.
Sistema de ecuaciones 2x2: Conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente.
Despeje: Proceso de aislar una incógnita en un miembro de la ecuación aplicando operaciones inversas.

Preguntas para practicar

¿Por qué se elige despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones?

Porque al obtener dos expresiones equivalentes a la misma incógnita, se pueden igualar para formar una sola ecuación con una incógnita, lo que permite resolver el sistema de manera ordenada.

¿Qué sucede si se elige despejar la otra incógnita?

El resultado del sistema no cambia, ya que la solución es única. Solo varía el procedimiento algebraico, pero se llega a los mismos valores de $x$ y $y$.

Temas y conceptos clave

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2Método de igualaciónIncógnitaDespejeIgualaciónSolución del sistemaEcuación lineal

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones 2x2 por el método de igualación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre el método de igualación y el de sustitución?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se comprueba la solución de un sistema de ecuaciones 2x2?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números enteros
• Ecuaciones de primer grado con una incógnita
• Transposición de términos y propiedades de la igualdad

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Método de reducción (suma y resta) para sistemas de ecuaciones 2x2

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1661 caracteres

Este sistema se resolverá por el método de igualación, el cual consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones dadas y posteriormente realizar la igualación de ambas incógnitas. Se elige la incógnita x, por tanto, se despeja a x de ambas ecuaciones:

Al obtener las expresiones para la incógnita x de ambas ecuaciones, se procede a igualarlas:

$3500-y=\frac{4000+y}{2}$

La expresión anterior es una ecuación con una incógnita. Se resuelve simplificando las cantidades constantes para despejar y.

$\begin{aligned}(2)\times(3500-y)&=(2)\times\left(\frac{4000+y}{2}\right)\\7000-2y&=4000+y\\7000-2y+(-y)&=4000+y+(-y)\\7000-3y&=4000\\(-7000)+7000-3y&=(-7000)+4000\\-3y&=-3000\\-\frac{1}{3}\times(-3y)&=-\frac{1}{3}\times(-3000)\\y&=1000\end{aligned}$

la incógnita x:Se obtuvo el valor de una de las incógnitas. Enseguida se reem-plaza este valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones origi-nales. Se elige la primera ecuación para determinar el valor de $\begin{aligned}x+y&=3500\\x+(1000)&=3500\\x&=3500-1000\\x&=2500\end{aligned}$

Entonces, la solución del sistema es $x=2\ 500\ y=1\ 000$ . Por tanto, el costo de la máquina grande es de $2 500 y el de la máquina chica,$ 1 000.

El procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones de $2\times2$ porel método de sustitución puede diferir debido a la elección de la incógnita que se va a despejar, pero esto no perjudica el resultado del sistema, siempre y cuando se resuelva de manera apropiada.

Ecuación 1	Ecuación 2
a) $x=3500-y$	b) $x=\frac{4000+y}{2}$

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