Perímetro de una figura compuesta: cuadrado y círculo

Ejemplo 3

Hallar el perímetro de la figura compuesta (cuadrado de lado 4 in inscrito en un círculo de radio 4 in).

Paso 1. Perímetro de interés del cuadrado

1. Fórmula del perímetro del cuadrado: P = 4l.
2. Sustituimos l = 4\,\text{in}: P = 4 \times 4\,\text{in} = 16\,\text{in}.
3. Solo dos lados del cuadrado forman parte del contorno exterior; los otros dos quedan dentro del círculo. Dividimos entre 2:

\frac{P}{2} = \frac{16\,\text{in}}{2} = 8\,\text{in}

Respuesta parcial: el perímetro de interés del cuadrado es 8\,\text{in}.

Paso 2. Perímetro de interés del círculo

1. Fórmula del perímetro del círculo: P = \pi D.
2. El diámetro es D = 2r = 2 \times 4\,\text{in} = 8\,\text{in}.
3. Sustituimos: P = \pi \times 8\,\text{in} = 8\pi\,\text{in} \approx 25.13\,\text{in}.
4. Del círculo solo interesa el arco exterior. El cuadrado ocupa un cuadrante (90^\circ), por lo que el arco útil es \frac{3}{4} de la circunferencia:

P_{\text{arco}} = \frac{3}{4} \times 8\pi\,\text{in} = 6\pi\,\text{in} \approx 18.85\,\text{in}

Respuesta parcial: el perímetro de interés del círculo es 6\pi\,\text{in} \approx 18.85\,\text{in}.

Paso 3. Perímetro total de la figura compuesta

1. Sumamos los perímetros de interés de ambas figuras simples:

P_{\text{total}} = 8\,\text{in} + 6\pi\,\text{in}

2. Valor numérico:

P_{\text{total}} \approx 8 + 18.85 = 26.85\,\text{in}

Respuesta: P_{\text{total}} = (8 + 6\pi)\,\text{in} \approx 26.85\,\text{in}.