Principio de Cavalieri y medida del volumen de sólidos

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El principio de Cavalieri es un recurso para determinar si dos sólidos poseen el mismo volumen. Se ilustra con una pila de papel: si se desplazan las hojas, la pila se inclina, pero el volumen no cambia porque está compuesta por los mismos elementos (las mismas hojas).

2. Si se trazan planos paralelos a la base, la intersección con ambas pilas produce secciones transversales del mismo tamaño.
3. Cuando dos sólidos tienen la misma altura h y la misma sección transversal A(y) en cada nivel y, sus volúmenes son iguales:

V_1 = V_2

Formalmente, si A_1(y) = A_2(y) para todo y en [0, h], entonces

V_1 = \int_0^h A_1(y)\,dy = \int_0^h A_2(y)\,dy = V_2

• El volumen equivale al espacio que ocupa un cuerpo en el espacio tridimensional.
• La unidad de referencia es el cubo de arista 1 \, \text{cm}, es decir, el centímetro cúbico \text{cm}^{3}.
• En los prismas se pueden contar directamente los cubos que lo componen (si son unidades completas).
• Otras estrategias: descomponer la figura en partes más sencillas, o aplicar el principio de Cavalieri.

• Área: se determina a partir de las caras que delimitan el sólido (planas o curvas).
• Volumen: se determina a partir de la cantidad de unidades cúbicas que lo componen.

Ejemplo aplicado (guiado)

Ejercicio: Una pila de hojas rectas y la misma pila desplazada (inclinada) tienen la misma altura de 2 \, \text{cm} y cada hoja mide 30 \, \text{cm}^{2}. ¿Son iguales sus volúmenes? Justifica con el principio de Cavalieri.

1. Ambas pilas tienen la misma altura: h = 2 \, \text{cm}.
2. En cada nivel, la sección transversal (área de cada hoja) es la misma: A = 30 \, \text{cm}^{2}.
3. Por el principio de Cavalieri, si h_1 = h_2 y A_1(y) = A_2(y) en todo nivel, entonces V_1 = V_2.
4. Cálculo directo (coherencia): V = A \times h = 30 \times 2 = 60 \, \text{cm}^{3}.

Respuesta orientativa a la idea de página: El principio de Cavalieri permite concluir que dos sólidos de forma distinta pueden tener el mismo volumen si, al cortarlos con planos paralelos a la base, las secciones obtenidas son congruentes y la altura es la misma.