Comparación y equivalencia de fracciones: preguntas de cierre

Actividad: explicar el procedimiento usado para responder la pregunta de la situación anterior.

1. El procedimiento consiste en expresar la fracción pedida como otra fracción equivalente que sea más fácil de leer o comparar.
2. Se parte de la igualdad de fracciones (una proporción) y se determina el valor incógnita de un numerador o denominador.
3. Cuando la relación no es inmediata, se simplifica primero la fracción (dividiendo numerador y denominador entre un divisor común) y luego se amplifica hasta alcanzar el denominador buscado.
4. Ejemplo del recuadro: de \frac{8}{24}=\frac{x}{18} se simplifica \frac{8}{24} dividiendo entre 4, obteniendo \frac{2}{6}; amplificando \frac{2}{6} por 3 se obtiene \frac{6}{18}, por lo que x=6.

Respuesta orientativa: se usó el método de fracciones equivalentes: simplificar y amplificar hasta igualar el denominador deseado, comparando los resultados obtenidos.

Actividad: justificar por qué conviene reescribir \frac{3}{18} como \frac{1}{6}.

1. Observamos que 3 es divisor de 3 y de 18: 3\div 3=1 y 18\div 3=6.
2. Al dividir numerador y denominador entre 3 se obtiene \frac{3}{18}=\frac{3\div 3}{18\div 3}=\frac{1}{6}.
3. La fracción \frac{1}{6} es más sencilla de comparar con otras fracciones y de representar gráficamente.

Actividad: señalar cuándo es necesario pasar de fracciones heterogéneas a homogéneas.

1. Heterogéneas: tienen denominadores distintos; homogéneas: comparten el denominador.
2. Para sumar o restar fracciones es indispensable que tengan el mismo denominador.
3. También para comparar fracciones de denominadores distintos, porque con denominador común basta mirar los numeradores.

Respuesta orientativa: se necesita al sumar, restar o comparar fracciones cuyos denominadores son diferentes; se unifica denominador empleando el mínimo común múltiplo.

Actividad: verificar con ejemplo y representación gráfica que, con igual denominador, gana la fracción de mayor numerador.

1. Tomamos \frac{3}{7} y \frac{5}{7}, ambas con denominador 7.
2. Cada parte vale \frac{1}{7}: en \frac{3}{7} hay 3 partes y en \frac{5}{7} hay 5 partes.
3. Como 5>3, se cumple \frac{5}{7}>\frac{3}{7}.
4. Representación: un rectángulo dividido en 7 partes iguales; se sombrean 3 partes para la primera fracción y 5 para la segunda; la segunda sombra cubre más superficie.
5. Comprobación adicional con producto en aspa: 7\times3=21 y 7\times5=35; como 35>21, \frac{5}{7}>\frac{3}{7}.

Actividad: verificar si Cecilia tiene más refresco que Ana (\frac{3}{4} y \frac{5}{8} litros).

1. Los denominadores son distintos; hallamos el m.c.m. de 4 y 8: \text{m.c.m.}(4,8)=8.
2. Convertimos a homogéneas: \frac{3}{4}=\frac{3\times 2}{4\times 2}=\frac{6}{8}.
3. Ana tiene \frac{6}{8} litro y Cecilia \frac{5}{8} litro.
4. Con igual denominador: 6>5, luego \frac{6}{8}>\frac{5}{8}.
5. Verificación en aspa: 4\times5=20 y 8\times3=24; como 24>20, \frac{3}{4}>\frac{5}{8}.