Situación 8: Emprendemos un negocio — comparación de aportes al capital

Tres socios invierten en un negocio de comida: uno aporta \frac{1}{6} del capital total, otro aporta \frac{2}{5}, y el tercero cubre el resto. Se pide determinar qué fracción del capital aportó el tercer socio respecto del segundo.

1. Se identifican los datos: aporte A =\frac{1}{6}, aporte B =\frac{2}{5}, aporte C =1-\frac{1}{6}-\frac{2}{5}.
2. Se representan los dos aportes conocidos con rectángulos unitarios divididos en 6 y en 5 partes iguales, respectivamente.
3. Al superponer ambos gráficos, la unidad queda subdividida en 6\times 5=30 partes iguales, es decir, el mínimo común denominador es 30.
4. Se reexpresan las fracciones: \frac{1}{6}=\frac{1\times 5}{6\times 5}=\frac{5}{30} y \frac{2}{5}=\frac{2\times 6}{5\times 6}=\frac{12}{30}.
5. Se suman las participaciones de los dos primeros socios: \frac{5}{30}+\frac{12}{30}=\frac{17}{30}.
6. El tercer socio aporta lo que falta: 1-\frac{17}{30}=\frac{30}{30}-\frac{17}{30}=\frac{13}{30}.
7. Se comparan los aportes del tercer y del segundo socio: \frac{13}{30}-\frac{12}{30}=\frac{1}{30}.

Se responde por vía gráfica y aritmética: primero se ilustra cada participación con un rectángulo partido en las partes que indica su denominador; luego se superponen ambos dibujos, lo que obliga a subdivider la unidad en 30 celdas; con esa común subdivisión se convierten \frac{1}{6} en \frac{5}{30} y \frac{2}{5} en \frac{12}{30}, se suman para obtener \frac{17}{30}, se resta de la unidad para hallar el aporte del tercer socio (\frac{13}{30}) y finalmente se resta el aporte del segundo (\frac{12}{30}), obteniendo la diferencia \frac{1}{30}.

Respuesta orientativa: el procedimiento combina el modelo de área con la conversión de fracciones a un denominador común (30), y concluye con una resta de fracciones homogéneas.

Se puede evitar el modelo gráfico usando la regla del aspa y una sola cadena de operaciones:

1. Expresar el aporte del tercer socio: C=1-\frac{1}{6}-\frac{2}{5}.
2. Sumar primero las dos fracciones conocidas con la regla del aspa: \frac{1}{6}+\frac{2}{5}=\frac{5\times 1+6\times 2}{6\times 5}=\frac{5+12}{30}=\frac{17}{30}.
3. Restar de la unidad: C=\frac{30}{30}-\frac{17}{30}=\frac{13}{30}.
4. Calcular directamente la diferencia buscada: C-B=\left(1-\frac{1}{6}-\frac{2}{5}\right)-\frac{2}{5}=1-\frac{1}{6}-\frac{4}{5}.
5. Sumar \frac{1}{6}+\frac{4}{5} con la regla del aspa: \frac{5\times 1+6\times 4}{30}=\frac{5+24}{30}=\frac{29}{30}.
6. Restar: 1-\frac{29}{30}=\frac{1}{30}.

Comprobación por la ruta directa

También puede hallarse la diferencia sin calcular el aporte completo: \frac{13}{30}-\frac{12}{30}=\frac{1}{30}, y verificarse restando de la unidad los tres aportes: \frac{5}{30}+\frac{12}{30}+\frac{13}{30}=\frac{30}{30}=1.

Respuesta: la suma de los tres aportes es 1, lo que confirma la corrección del cálculo.

Recuerda — regla del aspa

Para sumar \frac{1}{2}+\frac{2}{3}: se multiplican en cruz 3\times 1=3 y 2\times 2=4; el numerador es 3+4=7 y el denominador es 2\times 3=6, luego \frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}.

Respuesta: \frac{7}{6}.

Ten en cuenta — suma con tarjetas de fracciones

Con tarjetas de \frac{1}{2} y \frac{1}{3} se superponen hasta igualar la unidad; aparecen dos zonas contadas dos veces, por lo que la región sombreada total equivale a \frac{5}{6}.

Respuesta: \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}.