Funciones lineal y afín: representación de recorridos en el plano cartesiano

Ten en cuenta (marco teórico de la ficha)

Una función lineal tiene regla f(x)=ax con a\neq 0; su gráfica es una recta que pasa por el origen (0;0). Ejemplo: f(x)=3x con pares (0;0),(1;3),(2;6),(3;9).

Una función afín tiene forma f(x)=ax+b con a,b\neq 0; su gráfica es una recta que NO pasa por el origen, sino por (0;b). Ejemplo: f(x)=2x+3 con pares (0;3),(1;5),(2;7),(3;9).

Representar en el diagrama cartesiano (eje X: tiempo en s, eje Y: distancia en m) los recorridos de Mauricio y de Héctor.

1. Toma de la tabla de la situación los pares ordenados (t;d) de cada persona para los tiempos registrados.
2. Ubica los puntos de Mauricio: como parte de t=0, d=0, el primer punto es (0;0).
3. Traza la recta que une esos puntos y extiéndela hasta la distancia de meta (100 m); márcala con el nombre d_M(t).
4. Ubica los puntos de Héctor: si tiene una ventaja inicial, su primer punto es (0;c) con c>0.
5. Traza la recta que une esos puntos hasta la meta y márcala con d_H(t).
6. Señala con un punto el cruce de ambas rectas y verifica que sus coordenadas correspondan a un tiempo y a una distancia leídos en los ejes.

¿En qué punto se cruzan las rectas? ¿Cómo se interpreta?

1. Igualar las dos reglas: d_M(t)=d_H(t).
2. Si d_M(t)=a t y d_H(t)=b t+c, entonces a t=b t+c.
3. Despejar el tiempo: a t-b t=c \Rightarrow t(a-b)=c \Rightarrow t=\dfrac{c}{a-b}.
4. Sustituir ese tiempo en cualquiera de las dos reglas para obtener la distancia: d=a\cdot\dfrac{c}{a-b}=\dfrac{ac}{a-b}.

Expresión matemática de la distancia recorrida desde la partida.

1. Mauricio parte de t=0 con d=0, por eso su regla no tiene término independiente.
2. Héctor comienza con una distancia ya cubierta c, por eso su regla incluye +c.
3. Sustituye en a, b y c los valores que entrega la tabla de la situación.

Tiempo de llegada de cada uno a la meta (tercera pregunta de la situación).

1. La meta corresponde a d=100\text{ m}.
2. Para Mauricio: a t=100 \Rightarrow t_M=\dfrac{100}{a}.
3. Para Héctor: b t+c=100 \Rightarrow b t=100-c \Rightarrow t_H=\dfrac{100-c}{b}.
4. Compara: gana quien tenga menor tiempo.

1. Ambas reglas son funciones de primer grado en la variable tiempo t, con dominio t\geq 0 y rango d\geq 0 (no se admiten tiempos ni distancias negativos).
2. La de Mauricio es lineal: d_M(t)=a t, su gráfica pasa por (0;0) y a representa la velocidad constante (pendiente).
3. La de Héctor es afín: d_H(t)=b t+c, su gráfica corta el eje vertical en (0;c) y b es su velocidad constante.
4. Ambas gráficas son rectas: una mayor pendiente indica mayor rapidez, y la distancia entre las rectas a t=0 muestra la ventaja inicial.

1. Sí: además de la expresión algebraica y de la gráfica, se puede usar una tabla de valores que liste tiempo y distancia.
2. También puede expresarse con una regla verbal: «la distancia es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo (más la ventaja inicial)».
3. O mediante una situación de partida (modelo físico) o una ecuación que se resuelve para hallar tiempos o distancias.
4. Todas estas formas son equivalentes: describen la misma relación de variación proporcional o afín.