Progresión aritmética: entrenamiento de Miluzka y datos de la situación

Ten en cuenta (marco teórico)

Una progresión aritmética (P. A.) es una sucesión en la que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma; ese valor constante se llama razón r.

• En 3; 5; 7; 9; \dots se suma +2 a cada término, luego r = 2.
• En 45; 40; 35; 30; \dots se restan 5 unidades, luego r = -5.

El término general es a_n = a_1 + (n-1)\cdot r.

Se pide seleccionar la información de la situación que permite responder las preguntas planteadas.

Respuesta orientativa: Conviene anotar el valor inicial del primer día (cuántos árboles se sembraron al comenzar), el número de días (o fechas) de siembra considerado, el incremento constante diario y el dato final que se desea calcular (total o valor en un día determinado). Todo dato que no cambie con el tiempo o que no se use en el cálculo puede descartarse.

Respuesta orientativa: Se debe escribir con las propias palabras la incógnita de la situación: determinar cuántos árboles se han sembrado en el período indicado (o cuántos corresponderían a un día específico), es decir, convertir la pregunta de la historia en una pregunta matemática concreta.

Respuesta orientativa: El aumento diario es el razón de la progresión aritmética: la cantidad constante que se suma cada día al número de árboles sembrados. Se lee directamente del enunciado de la situación (por ejemplo, si cada día se suman k árboles, entonces r = k y a_n = a_1 + (n-1)\cdot k).

Situación modelada como P. A.: primera semana 30 min, cada semana posterior 15 min más; carrera dentro de 9 semanas.

1. Identificamos la primera semana: a_1 = 30 min.
2. El aumento constante por semana es la razón: r = 15 min.
3. La carrera ocurre en la semana 9, por lo que la última semana de entrenamiento (previa a la carrera) es n = 9.
4. Aplicamos el término general: a_n = a_1 + (n-1)\cdot r.
5. Sustituimos: a_9 = 30 + (9-1)\cdot 15.
6. Calculamos el producto: a_9 = 30 + 8 \times 15 = 30 + 120.
7. Sumamos: a_9 = 150 min = 2 h 30 min.
8. Verificamos con la tabla de la página: 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, y 150 - 135 = 15, se mantiene la razón.

Nota: si la semana previa se contara como la semana 8, se obtendría a_8 = 30 + 7\times 15 = 135 min; con la lectura "la carrera es en la semana 9" la última semana entrenada es la 9.