Progresión aritmética: término general y tabla de datos

Actividad: explicar con palabras el procedimiento seguido para responder las interrogantes de la situación.

1. Tomar los datos iniciales: el primer término a_1 y la razón r (incremento constante entre términos consecutivos).
2. Organizar la información en una tabla que vincule la variable explicativa (día o semana) con la respuesta (minutos o número de árboles).
3. Construir la fórmula del término general: a_n = a_1 + (n-1)\cdot r.
4. Sustituir en la fórmula el valor de n que exige cada pregunta y resolver la operación.
5. Contrastar el resultado con el patrón de la tabla, verificando que cada término difiera del anterior exactamente en r.

Respuesta orientativa: Primero se identifican a_1 y r; luego se arma la tabla de valores; con ellos se escribe a_n = a_1 + (n-1)\cdot r; finalmente se reemplaza n por el día o semana pedido y se comprueba el resultado con el patrón de la serie.

Completar la tabla de siembra diaria de los brigadistas y responder dos preguntas. Los datos del recuadro siguiente indican que el primer día se plantaron 13 árboles y que la serie crece de 13 a 17, de modo que a_1 = 13 y r = 17 - 13 = 4.

1. a_1 = 13.
2. a_2 = 13 + 4 = 17.
3. a_3 = 17 + 4 = 21.
4. a_4 = 21 + 4 = 25.
5. a_5 = 25 + 4 = 29.
6. a_6 = 29 + 4 = 33.

Completar las casillas vacías de la tabla que relaciona día, cantidad de árboles, expresión matemática y expresión equivalente.

1. Para a_1: cantidad = 13; expresión = 13 + 4(0) = 13 + 4(1-1).
2. Para a_2: cantidad = 17; expresión = 13 + 4(1) = 13 + 4(2-1).
3. Para a_3: cantidad = 17 + 4 = 21; expresión = 13 + 4(2) = 13 + 4(3-1).
4. Los puntos suspensivos continúan la misma regla: a_4 = 25, a_5 = 29, a_6 = 33, ...
5. Para a_n: cantidad = a_n; expresión = 13 + 4(n-1); expresión equivalente = 13 + 4(n-1).

Hallar la fórmula que relaciona el día con el número de árboles para cualquier cantidad de días.

1. Identificar a_1 = 13 y r = 4.
2. Sustituir en a_n = a_1 + (n-1)\cdot r: a_n = 13 + (n-1)\cdot 4.
3. Desarrollar: a_n = 13 + 4n - 4.
4. Simplificar: a_n = 4n + 9.
5. Verificación: n=1 \Rightarrow 4(1)+9 = 13; n=2 \Rightarrow 4(2)+9 = 17; n=6 \Rightarrow 4(6)+9 = 33. Los valores coinciden con la tabla.