Progresión aritmética: semillas de una pulsera de huayruro

Completar la tabla de correspondencia entre el número de eslabones y las semillas necesarias, cuando los primeros valores son 6, 11 y 16.

1. Identificamos el patrón: cada vez que se añade un eslabón, la cantidad de semillas aumenta de forma constante.
2. Calculamos esa diferencia constante (razón) restando un término y su anterior: r = 11 - 6 = 5.
3. Verificamos con otro par: r = 16 - 11 = 5. La razón es r = 5.
4. Para 4 eslabones sumamos la razón al término anterior: a_{4} = 16 + 5 = 21.
5. Para 5 eslabones: a_{5} = 21 + 5 = 26.

Hallar el número total de semillas que Ana necesita para una pulsera de 12 eslabones.

1. La sucesión es aritmética con primer término a_{1} = 6 y razón r = 5.
2. Escribimos la fórmula del término general: a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r.
3. Sustituimos n = 12, a_{1} = 6 y r = 5: a_{12} = 6 + (12 - 1) imes 5.
4. Resolvemos la resta del paréntesis: a_{12} = 6 + 11 imes 5.
5. Multiplicamos: a_{12} = 6 + 55.
6. Sumamos: a_{12} = 61.

Verificación

Comprobamos con la suma aritmética: S_{12} = \dfrac{n}{2}(a_{1} + a_{12}) = \dfrac{12}{2}(6 + 61) = 6 imes 67 = 402. Como la suma de los doce términos de 6, 11, 16, \dots con razón 5 es S_{12} = \dfrac{12}{2}ig(2 \cdot 6 + (12-1)\cdot 5ig) = 6(12 + 55) = 6 imes 67 = 402, el valor a_{12}=61 es coherente.

Calcular la razón de la secuencia 75; 68; 61; 54; 47; 40 presentada como ejemplo de comprobación.

1. Restamos cada término con su anterior, por ejemplo: r = 68 - 75 = -7.
2. Verificamos con otro par: r = 61 - 68 = -7.
3. Todos los pares dan lo mismo, por lo que es una progresión aritmética decreciente.