Progresiones aritméticas: último término, suma total y reflexión (Ficha 6)

Actividad: calcular cuántos árboles se siembran en la jornada final de la campaña de 15 días.

1. La campaña tiene n = 15 días, de modo que el último día corresponde al término a_{15}.
2. En una progresión aritmética cualquier término se obtiene con a_{n} = a_{1} + (n-1)d, donde a_{1} es lo sembrado el primer día y d el incremento diario constante (ambos datos vienen de la situación inicial de la ficha).
3. Sustituyendo n = 15: a_{15} = a_{1} + (15-1)d = a_{1} + 14d.
4. Comprobación con valores ilustrativos: si a_{1} = 4 y d = 3, entonces a_{15} = 4 + 14(3) = 4 + 42 = 46 árboles.

Actividad: hallar el total de árboles sembrados en toda la campaña.

1. El total es la suma de los 15 términos: S_{15}.
2. Aplico la fórmula de Gauss (suma de progresión aritmética): S_{n} = (a_{1} + a_{n})\cdot\dfrac{n}{2}.
3. Sustituyo n = 15 y a_{n} = a_{15}: S_{15} = (a_{1} + a_{15})\cdot\dfrac{15}{2}.
4. Como a_{15} = a_{1} + 14d: S_{15} = (a_{1} + a_{1} + 14d)\cdot\dfrac{15}{2} = (2a_{1} + 14d)\cdot\dfrac{15}{2} = 15a_{1} + 105d.
5. Comprobación con a_{1} = 4, d = 3: S_{15} = 15(4) + 105(3) = 60 + 315 = 375; y también S_{15} = (4 + 46)\cdot\dfrac{15}{2} = 50 \times 7{,}5 = 375.

Pregunta: ¿el procedimiento utilizado permitió responder las preguntas de la situación inicial?

1. El modelo de progresión aritmética traduce "cada día siembran d árboles más que el anterior" en una fórmula de término general.
2. Con a_{n} = a_{1} + (n-1)d se responde cualquier pregunta de "cuánto en un día dado" y con S_{n} = (a_{1}+a_{n})\frac{n}{2} cualquier pregunta de "cuánto en total".

Respuesta orientativa: Sí. Al identificar la regularidad de la siembra como una progresión aritmética, basta conocer el primer término y la razón para responder todas las preguntas de la situación inicial (cantidad de un día cualquiera y总量 total) sin calcular todos los términos uno por uno; el modelo es general y explica el comportamiento de toda la campaña.

Pregunta: ¿podrías usar otro procedimiento para hallar lo sembrado en 15 días?

1. Procedimiento A: listar los 15 términos (a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, \dots, a_{1}+14d) y sumarlos directamente.
2. Procedimiento B: emparejar extremos como hizo Gauss: (a_{1}+a_{15}) + (a_{2}+a_{14}) + \dots, notando que cada par suma a_{1}+a_{15} y hay \frac{15}{2} pares "conceptuales", lo que lleva a la misma fórmula.
3. Procedimiento C: usar la forma S_{n} = \dfrac{n}{2}\,[2a_{1} + (n-1)d] sin calcular antes el último término.

Respuesta orientativa: Sí, es posible. Puede resumirse la lista y sumar término a término, o aplicar la fórmula S_{n}=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]; ambas rutas son válidas porque la secuencia es aritmética, y la fórmula es más rápida y evita errores de suma larga.