Ecuaciones lineales: conjunto solución y balanza de equilibrio

Relaciona cada ecuación con su C.S. y justifica.

Ecuación 1: 6x - 4 - x = 3x + 6

1. Simplificar lado izquierdo: 5x - 4 = 3x + 6.
2. Transponer: 5x - 3x = 6 + 4 \Rightarrow 2x = 10.
3. Despejar: x = \frac{10}{2} = 5.

Ecuación 2: 7x - 6 - 5x = -4x + 4 + 6x

1. Simplificar: 2x - 6 = 2x + 4.
2. Transponer: 2x - 2x = 4 + 6 \Rightarrow 0 = 10 — contradicción.

Respuesta: C.S = \{\} — ecuación incompatible (sin solución). Justificación: los términos con x se cancelan y queda una igualdad falsa (0 = 10).

Ecuación 3: -2x - (x + 6) = 7x - 6 - 10x

1. Expandir paréntesis: -2x - x - 6 = 7x - 6 - 10x.
2. Simplificar: -3x - 6 = -3x - 6 — identidad.

Respuesta: C.S = \{\text{infinitos valores para } x\} — ecuación compatible indeterminada. Justificación: ambos lados son idénticos, la igualdad es verdadera para cualquier valor de x.

(Nota: C.S = \{20\} no corresponde a ninguna de las tres ecuaciones; es la opción sin par.)

Determinar qué objeto(s) equilibran la balanza IV, sabiendo que iguales objetos tienen igual peso.

Sea: \square = cubo rosado, C = cilindro rojo, \triangle = triángulo rojo, \bullet = bola naranja.

1. Balanza I (equilibrio): \square = 2C + \bullet.
2. Balanza II (equilibrio): 2C = 2\triangle \Rightarrow C = \triangle.
3. Balanza III (equilibrio): 2\bullet = \square + \triangle.
4. Sustituir I en III: 2\bullet = (2C + \bullet) + \triangle = 2\triangle + \bullet + \triangle = 3\triangle + \bullet.
5. Simplificar: \bullet = 3\triangle (o equivalentemente \bullet = 3C).

Balanza IV: lado izquierdo tiene 1 bola; lado derecho vacío.

Sofía llena 5 bolsas y sobra 1 caramelo; Leticia llena 4 bolsas y sobran 7; ambas partieron con la misma cantidad.