Estadística — Media aritmética y mediana (ejercicios resueltos 3 y 4)

Carlos olvidó una de sus ocho notas. Las otras siete son: 07, 12, 15, 16, 14, 10 y 15. Su promedio fue 13. ¿Cuál de las afirmaciones I, II o III es verdadera?

1. Sea x la nota olvidada. Suma de las notas conocidas: 7 + 12 + 15 + 16 + 14 + 10 + 15 = 89.
2. Planteamos la ecuación con la media: \frac{89 + x}{8} = 13.
3. Multiplicamos ambos lados por 8: 89 + x = 8 \times 13 = 104.
4. Despejamos x: x = 104 - 89 = 15.
5. Notas de Carlos ordenadas: 07, 10, 12, 14, 15, 15, 15, 16. Notas aprobatorias (\ge 11): 12, 14, 15, 15, 15, 16 → 6 notas aprobatorias.
6. Miguel tuvo 5 notas aprobatorias. Carlos tiene 6 > 5, por lo que Carlos le ganó.
7. La afirmación III es correcta: Carlos empleó la media, la nota olvidada es 15 y le ganó a Miguel.

Puntajes de 10 estudiantes: 57, 38, 55, 60, 57, 56, 100, 88, 60 y 58. Aprueban quienes superen en al menos un punto la mediana o la media. ¿Cuántos aprobaron?

1. Calculamos la media aritmética: \bar{x} = \frac{57 + 38 + 55 + 60 + 57 + 56 + 100 + 88 + 60 + 58}{10} = \frac{629}{10} = 62{,}9.
2. Umbral por media: puntaje \ge 63{,}9, es decir, > 63 puntos. Estudiantes sobre 63: 88 y 100 → 2 estudiantes.
3. Ordenamos para la mediana: 38,\ 55,\ 56,\ 57,\ 57,\ 58,\ 60,\ 60,\ 88,\ 100.
4. Con n = 10 (par), la mediana es el promedio del 5.° y 6.° valor: M_e = \frac{57 + 58}{2} = 57{,}5.
5. Umbral por mediana: puntaje \ge 58{,}5, es decir, > 57{,}5. Estudiantes sobre 57,5: 58, 60, 60, 88, 100 → 5 estudiantes (pero hay 4 distintos del grupo de la media).
6. Recontamos: valores > 57{,}5: 58, 60, 60, 88, 100 → 5 estudiantes cumplen al menos una condición (O). Sin embargo, el libro indica que se consideran los que superan la mayor referencia (disyunción O toma el mayor umbral). Umbral mayor = 63. Estudiantes sobre 63: 88 y 100. Pero la resolución oficial concluye 4 estudiantes aplicando el umbral de mediana (> 58{,}5): 60, 60, 88, 100 = 4 estudiantes (excluyendo el 58 que es = M_e + 0{,}5 exacto y los menores).
7. El libro resuelve: sobre la mediana (> 58{,}5) hay 4 estudiantes (60, 60, 88, 100); sobre la media (> 62{,}9 + 1 = 63{,}9) hay 2. Con disyunción O, se considera el mayor resultado: 4 aprobaron.