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Funciones lineales — costos comparativos y utilidad anual

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Respuesta rápida

Ej. 2: $t = 3$ meses. Ej. 3b: $n = 1\,500$ neumáticos equilibrio. Ej. 3c: $n = 5\,000$ neumáticos.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 123

Matemática 2 : cuaderno de reforzamiento pedagógico - JEC · 2016

Ejercicio 2

Power Gym: S/ 260 inscripción + S/ 120/mes. Gym Extreme: S/ 140 inscripción + S/ 160/mes. ¿En cuántos meses $t$ se paga la misma cantidad?

Parte 2.a

Función de pago — Power Gym

$P_{PG}(t) = 260 + 120t$

Parte 2.b

Función de pago — Gym Extreme

$P_{GE}(t) = 140 + 160t$

Parte 2.c

Igualación de funciones

Planteamos la igualdad: $260 + 120t = 140 + 160t$ .
Restamos $120t$ y $140$ a ambos lados: $260 - 140 = 160t - 120t \Rightarrow 120 = 40t$ .
Dividimos entre 40: $t = \frac{120}{40} = 3$ .

Verificación: $P_{PG}(3) = 260 + 120 \cdot 3 = 620$ ; $P_{GE}(3) = 140 + 160 \cdot 3 = 620$ ✓

Respuesta

A los $t = 3$ meses se paga la misma cantidad (S/ 620) en ambos gimnasios.

Ejercicio 3

Almacén de neumáticos: $u(n) = 20n - 30\,000$ , donde $n$ = neumáticos vendidos/año y $u$ = utilidad anual en soles.

Parte 3.a

Gráfica de la utilidad

Identificamos pendiente $m = 20$ y ordenada al origen $b = -30\,000$ .
Escalamos en miles para la gráfica: $U(\text{miles}) = 20N - 30$ , con $N$ en miles de neumáticos.
Punto de intersección con eje horizontal: $U = 0 \Rightarrow N = 1{,}5$ , es decir $n = 1\,500$ neumáticos.
Punto de intersección con eje vertical: $N = 0 \Rightarrow U = -30$ , es decir $u = -30\,000$ soles.

figura 0

Respuesta

Recta de pendiente positiva con $b = -30\,000$ que cruza el eje $n$ en $n = 1\,500$ neumáticos.

Parte 3.b

Número de neumáticos para no perder ni ganar

Condición de equilibrio: $u(n) = 0$ .
$20n - 30\,000 = 0 \Rightarrow 20n = 30\,000$ .
$n = \frac{30\,000}{20} = 1\,500$ .

Respuesta

Deben venderse $1\,500$ neumáticos para no perder ni ganar.

Parte 3.c

Neumáticos vendidos con utilidad de S/ 70 000

Condición: $u(n) = 70\,000$ .
$20n - 30\,000 = 70\,000 \Rightarrow 20n = 100\,000$ .
$n = \frac{100\,000}{20} = 5\,000$ .

Respuesta

Se vendieron $5\,000$ neumáticos.

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📌 Antes de leer esto

• operaciones con ecuaciones de primer grado
• concepto de función y variable dependiente/independiente
• representación gráfica en el plano cartesiano

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EI gimnasio Power Gym cobra un derecho de inscripción de 260 soles y una mensualidad de 120soles, mientras que el gimnasio Gym Extreme cobra 140 soles por derecho de inscripción y 160 soles de mensualidad. Ambos gimnasios se ubican en la misma avenida y tienen instalaciones semejantes y las mismas máquinas. iPor cuántos meses se paga la misma cantidad en ambos gimnasios?

RESOLUCION

a) Determinamos la función de lo que se paga en Power Gym en t meses.

$P(t)=260+120t$

b) Determinamos la función de lo que se paga en Gym Extreme en t meses.

$P(t)=140+160t$

c) lgualamos ambas funciones para averiguar por cuántos meses se paga lo mismo en los dos gimnasios.

$260+120t=140+160t$

Luego: $t=3$ meses.

La utilidad anual en soles de un almacén de neumáticos está representada por u y puede estimarse por medio de la función $u(n)=20n-30000$ , en la que n es el número de neumáticos vendidos por año.

a) Dibuja una gráfica de la utilidad, en relación con los neumáticos vendidos anualmente.

b) Estima el número de neumáticos que se deben vender para que la compania no pierda ni gane.

c) Estima el número de neumáticos vendidos, si la compania tuvo una utilidad de 70 000 soles.

RESOLUCION

a) Comprendemos el problema: el número de neumáticos vendidos representa la variable independiente, la cual ponemos en el eje horizontal, mientras que en el eje vertical ubicamos la utilidad que representa la variable dependiente. Si 30 oo0 representa la ordenada en el origen y 20 la pendiente, entonces el gráfico será el siguiente:

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