Practicamos — Progresiones Aritméticas

Un objeto cae desde 2304 m; recorre 16, 48, 80, 112, ... metros por segundo. ¿Cuántos segundos tarda?

1. PA de distancias: a_1 = 16, d = 48 - 16 = 32.
2. Suma de los primeros n términos: S_n = \frac{n}{2}(2 \cdot 16 + (n-1) \cdot 32) = \frac{n}{2} \cdot 32n = 16n^2.
3. Igualamos a la altura total: 16n^2 = 2304 \Rightarrow n^2 = 144 \Rightarrow n = 12.

Figuras de hexágonos con palitos de fósforo. ¿Cuántos palitos para 24 hexágonos?

1. Contamos: Fig. 1 = 6 palitos, Fig. 2 = 11 palitos, Fig. 3 = 16 palitos.
2. PA con a_1 = 6, d = 5.
3. Fórmula general: a_n = 6 + (n-1) \cdot 5 = 5n + 1.
4. Para n = 24: a_{24} = 5 \cdot 24 + 1 = 120 + 1 = 121.

Tabla 5 \times 5 con filas, columnas y diagonales en PA. Datos conocidos: (0,4)=21, (1,1)=16, (2,2)=27, (3,4)=x. Hallar x.

1. Usamos modelo lineal A_{i,j} = p + q \cdot i + r \cdot j (garantiza APs en filas, columnas y diagonales; índices desde 0).
2. Con A_{0,4} = 21: p + 4r = 21.
3. Con A_{1,1} = 16: p + q + r = 16.
4. Con A_{2,2} = 27: p + 2q + 2r = 27.
5. Ec.3 − Ec.2: q + r = 11. Ec.2 − Ec.1: q - 3r = -5. Restando: 4r = 16 \Rightarrow r = 4, q = 7, p = 5.
6. x = A_{3,4} = 5 + 7 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 5 + 21 + 16 = 42.

Tabla completa:

Relacionar ley de formación con desarrollo de PA.

1. a_n = 3n + 4: n=1\to7,\ n=2\to10,\ n=3\to13 → 7, 10, 13, 16, ...
2. a_n = 8 - 2n: n=1\to6,\ n=2\to4,\ n=3\to2 → 6, 4, 2, ...
3. a_n = 4n + 7: n=1\to11,\ n=2\to15,\ n=3\to19 → 11, 15, 19, 23, 27, ...
4. a_n = 2n + 7: n=1\to9,\ n=2\to11,\ n=3\to13 → 9, 11, 13, 15, 17, ...