Seguimos practicando — Progresiones aritméticas

Guillermo paga en progresión aritmética: a_1 = 5, d = 4, durante n = 30 semanas. ¿Cuánto de interés?

1. Suma total pagada: S_{30} = \frac{30}{2}\left(2 \cdot 5 + 29 \cdot 4\right).
2. S_{30} = 15 \cdot (10 + 116) = 15 \cdot 126 = 1890.
3. Interés = S_{30} - \text{préstamo} = 1890 - 1500 = 390.

Dosis: a_1 = 100 \, \text{mg}, d = -5 \, \text{mg}, n = 12 días. ¿Total de miligramos?

1. S_{12} = \frac{12}{2}\left(2 \cdot 100 + 11 \cdot (-5)\right).
2. S_{12} = 6 \cdot (200 - 55) = 6 \cdot 145 = 870 \, \text{mg}.

Deportista: a_1 = 3 \, \text{km}, d = 1{,}5 \, \text{km}. ¿Cuántos días para a_n = 15 \, \text{km}?

1. a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \Rightarrow 15 = 3 + (n-1) \cdot 1{,}5.
2. (n-1) = \frac{12}{1{,}5} = 8 \Rightarrow n = 9.

ONG: a_1 = 125 voluntarios al final del mes 1, d = 5. ¿Cuántos al cabo de 2{,}5 años (n = 30 meses)?

1. a_{30} = 125 + (30-1) \cdot 5 = 125 + 145 = 270.

Regla: a_n = 12 + 8n, n \ge 1. Evaluar proposiciones I–IV.

1. I. a_1 = 12 + 8 \cdot 1 = 20 \ne 12 → FALSA.
2. II. a_9 = 12 + 8 \cdot 9 = 12 + 72 = 84 → VERDADERA.
3. III. S_9 = \sum_{n=1}^{9}(12+8n) = 9 \cdot 12 + 8 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 108 + 360 = 468 → VERDADERA.
4. IV. a_1 + a_3 = 20 + (12+24) = 20 + 36 = 56 → VERDADERA.

Verdaderas: II, III y IV.