Ficha: Crecimiento de las bacterias — potencias fraccionarias

¿Qué significa que las bacterias crezcan exponencialmente?

Respuesta orientativa: Que su población se multiplica por un factor constante mayor que 1 en cada unidad de tiempo. Si en un instante hay N bacterias y el factor de crecimiento es r > 1, tras t períodos la población es N \cdot r^{t}. Esto produce un aumento muy rápido: mientras mayor es el tiempo, la población se hace enorme de forma acelerada, describiendo una curva exponencial ascendente.

¿Por qué crees que una colonia de bacterias puede reducirse o extinguirse?

Respuesta orientativa: Una colonia puede reducirse cuando el entorno deja de ser favorable: los nutrientes se agotan porque la gran densidad poblacional los consume más rápido de lo que se reponen, o los desechos metabólicos tóxicos producidos por las propias bacterias se acumulan hasta niveles letales. Ambos factores elevan la mortalidad y reducen la reproducción, invirtiendo el crecimiento exponencial en un decrecimiento exponencial que puede llevar a la extinción.

¿Qué es una potencia de base fraccionaria menor que 1?

Respuesta orientativa: Es una expresión de la forma \left(\frac{p}{q}\right)^{n} donde 0 < \frac{p}{q} < 1 y n es un exponente positivo. Como la base está entre 0 y 1, cada vez que se multiplica por sí misma el resultado es más pequeño. Por ejemplo, \left(\frac{3}{4}\right)^{1} = 0{,}75, \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = 0{,}5625, \left(\frac{3}{4}\right)^{3} \approx 0{,}422. Este tipo de potencia modela el decrecimiento exponencial.

Modelo de decrecimiento: colonia inicial de 65\,536 bacterias que disminuye a \frac{3}{4} de su población cada día.

1. Expresamos la función: P(t) = 65\,536 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{t}.
2. Notamos que 65\,536 = 4^{8}, lo que facilita cálculos.
3. Calculamos valores para la gráfica:
   • P(0) = 4^{8} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{0} = 65\,536
   • P(1) = 65\,536 \cdot \frac{3}{4} = 49\,152
   • P(2) = 65\,536 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = 65\,536 \cdot \frac{9}{16} = 36\,864
   • P(3) = 65\,536 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{3} = 65\,536 \cdot \frac{27}{64} = 27\,648
   • P(4) = 65\,536 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{4} = 20\,736
   • P(5) = 65\,536 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{5} = 15\,552
4. La gráfica muestra curva decreciente que se aproxima a 0 conforme t \to \infty.