Proporcionalidad directa e inversa — ejercicios 3 al 6

El precio P de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso w: P = k \cdot w^{2}. Con w=80\,\text{g} y P=3200, hallar P cuando w=100\,\text{g}.

1. Plantear la relación: P = k \cdot w^{2}.
2. Hallar k con los datos conocidos: 3200 = k \cdot 80^{2} = k \cdot 6400, entonces k = \frac{3200}{6400} = 0{,}5.
3. Calcular precio para w=100: P = 0{,}5 \cdot 100^{2} = 0{,}5 \cdot 10000 = 5000.

El gráfico muestra proporcionalidad inversa entre cantidad de obreros y tiempo. Del gráfico se leen los puntos (100,\,80) y la posición de x (tiempo cuando hay 200 obreros) e y (obreros cuando tiempo = 20). Hallar \frac{y}{x}.

1. Identificar la constante de proporcionalidad inversa: \text{obreros} \times \text{tiempo} = k. Con el punto (100,\,80): k = 100 \times 80 = 8000.
2. Hallar x (tiempo cuando obreros = 200): x = \frac{8000}{200} = 40.
3. Hallar y (obreros cuando tiempo = 20): y = \frac{8000}{20} = 400.
4. Calcular el cociente: \frac{y}{x} = \frac{400}{40} = 10.

Sergio respondió correctamente 24 de 30 preguntas; Jorge obtuvo el mismo porcentaje en un examen de 20 preguntas. Hallar los aciertos de Jorge.

1. Porcentaje de Sergio: \frac{24}{30} = 0{,}8.
2. Plantear proporción directa: \frac{24}{30} = \frac{j}{20}.
3. Despejar j: j = \frac{24 \times 20}{30} = \frac{480}{30} = 16.

La distancia de caída libre varía con el cuadrado del tiempo: d = k \cdot t^{2}. Con d=64\,\text{pies} en t=3\,\text{s}, hallar d cuando t=9\,\text{s}.

1. Hallar k: 64 = k \cdot 3^{2} = 9k, entonces k = \frac{64}{9}.
2. Calcular distancia para t=9: d = \frac{64}{9} \cdot 9^{2} = \frac{64}{9} \cdot 81 = 64 \times 9 = 576.