Área hexágono regular y rotación de figuras 180°

Espejo hexagonal regular con lado l = 3 \, \text{dm}. Hallar su superficie.

1. Un hexágono regular se descompone en 6 triángulos equiláteros de lado l = 3 \, \text{dm}.
2. Área de un triángulo equilátero: A_{\triangle} = \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}.
3. Sustituimos l = 3: A_{\triangle} = \frac{3^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \, \text{dm}^{2}.
4. Área del hexágono: A = 6 \cdot A_{\triangle} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 6 = \frac{54\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{2} \, \text{dm}^{2}.

Figura original: rectángulo ubicado en el cuadrante I (sobre el eje x, a la derecha del eje y), cerca del origen O. Rotar 180^{\circ} en sentido horario alrededor del punto O.

1. Una rotación de 180^{\circ} (horaria o antihoraria) alrededor del origen transforma (x, y) \to (-x, -y).
2. La figura original está en cuadrante I (x > 0,\ y > 0).
3. Tras la rotación: (-x, -y) con x > 0,\ y > 0 → punto en cuadrante III (x < 0,\ y < 0).
4. Opción c) muestra el rectángulo en el cuadrante III (a la izquierda del eje y y bajo el eje x), que corresponde exactamente a la imagen rotada.