P(x)=x^{4}-3x^{3}-9x^{2}+23x-12. Ensayo con raíces racionales \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12. P(1)=1-3-9+23-12=0, luego (x-1) es factor. División: P(x)=(x-1)(x^{3}-2x^{2}-11x+12). En el cociente P(1)=1-2-11+12=0, luego (x-1) vuelve a ser factor: x^{3}-2x^{2}-11x+12=(x-1)(x^{2}-x-12)=(x-1)(x-4)(x+3). Raíces: x=1 (doble), 4, -3. Por tanto P(x)=(x-1)^{2}(x-4)(x+3).

Q(x)=9x^{5}+\tfrac{1}{3}x^{4}+7x^{3}-9x^{2}-\tfrac{1}{3}x-7. Agrupar: (9x^{5}-9x^{2})+(\tfrac{1}{3}x^{4}-\tfrac{1}{3}x)+(7x^{3}-7)=9x^{2}(x^{3}-1)+\tfrac{1}{3}x(x^{3}-1)+7(x^{3}-1)=(x^{3}-1)(9x^{2}+\tfrac{1}{3}x+7). Luego Q(x)=(x-1)(x^{2}+x+1)\left(9x^{2}+\tfrac{1}{3}x+7\right); el primer factor da raíz x=1, los otros son irreducibles sobre \mathbb{R} (discriminantes negativos).

f(x)=\dfrac{4x^{2}-9}{2x^{2}-x-3}=\dfrac{(2x-3)(2x+3)}{(2x-3)(x+1)}=\dfrac{2x+3}{x+1} para x\ne \tfrac{3}{2}.

• Dominio: \mathbb{R}\setminus\{-1,\tfrac{3}{2}\}.
• Ceros: 2x+3=0\Rightarrow x=-\tfrac{3}{2}.
• Asíntota vertical: x=-1; asíntota horizontal: y=2.
• Paridad: no par ni impar.
• Monotonía: f'(x)=\dfrac{-1}{(x+1)^{2}}<0: decreciente en cada intervalo del dominio.
• Recorrido: \mathbb{R}\setminus\{2\} (menos el valor en el hueco x=\tfrac{3}{2}: f=6/(5/2)=12/5).
• Extremos: no tiene.

f(x)=\dfrac{2x^{2}-2x}{x^{2}-4x+4}=\dfrac{2x(x-1)}{(x-2)^{2}}.

• Dominio: \mathbb{R}\setminus\{2\}.
• Ceros: x=0,\ x=1.
• Asíntota vertical: x=2; asíntota horizontal: y=2 (coeficientes dominantes).
• Paridad: no par ni impar.
• Monotonía y extremos: derivar y estudiar signos (f'(x)=\dfrac{-2(x^{2}-4x+2)}{(x-2)^{3}}; extremos donde x=2\pm\sqrt{2}).
• Recorrido: \mathbb{R}.
• Extremos: máximo local en x=2-\sqrt{2}; mínimo local en x=2+\sqrt{2}.