Matematica · 2ro BGU · 2024 — Página 72

Q: ¿Cómo puedes conocer las relaciones entre acciones cotidianas?

Tema 5 (final de sección). Ejercicio 1: Lanzamiento de moneda 3 veces; $X$ = número de caras, $Y$ = diferencia absoluta caras-sellos. (a) Distribución conjunta; (b) media y $\sigma$ marginales; (c) covarianza y correlación. Ejercicio 2: (a) Calificaciones $x, y$ para 9 estudiantes: recta de regresión de $y$ en $x$; (b) Edad vs ausentismo de 10 trabajadores: ecuación por mínimos cuadrados.

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Ministerio de Educación del Ecuador

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Tema 5: Introducción a la regresión lineal simple

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Distribución conjunta simétrica, $\mu_X=1.5, \mu_Y=1.5$ . 2a) $y=-0.172x+8.96$ ; 2b) $y=-0.269x+22.62$ .

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Solución — Página 72

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Ejercicio 1

3 lanzamientos de moneda

$X$ : caras (0-3); $Y=|X-(3-X)|=|2X-3|$ . Casos: $X=0,1,2,3$ con probabilidades $1/8, 3/8, 3/8, 1/8$ ; $Y=3,1,1,3$ .

Distribución conjunta: $P(X=0,Y=3)=1/8$ , $P(X=1,Y=1)=3/8$ , $P(X=2,Y=1)=3/8$ , $P(X=3,Y=3)=1/8$ .

$\mu_X=1.5$ ; $\mu_Y=(3+3+3+3)/8+(1+1+1+1)/... =$ recalc: $E(Y)=3\cdot 1/8+1\cdot 3/8+1\cdot 3/8+3\cdot 1/8=3/8+3/8+3/8+3/8=12/8=1.5$ .
$Var(X)=0.75$ (binomial); $\sigma_X=\sqrt{3}/2\approx 0.866$ .

Ejercicio 2

a: recta de regresión

Datos: $x: 8,6,7,8,9,10,10,7,8$ ; $y: 7,8,6,8,9,7,7,10,6$ . $n=9$ .

$\bar{x}=73/9\approx 8.11$ ; $\bar{y}=68/9\approx 7.56$ .

$\sum x_i y_i=56+48+42+64+81+70+70+70+48=549$ . $\sum x_i^2=64+36+49+64+81+100+100+49+64=607$ .

$b=(n\sum xy-\sum x\sum y)/(n\sum x^2-(\sum x)^2)=(9\cdot 549-73\cdot 68)/(9\cdot 607-73^2)=(4941-4964)/(5463-5329)=-23/134\approx -0.172$ .

$a=\bar{y}-b\bar{x}=7.56-(-0.172)(8.11)=7.56+1.394=8.96$ .

Recta: $y=-0.172x+8.96$ .

Ejercicio 2

b: ausentismo vs edad

Datos edad: 25,46,58,37,55,32,41,50,23,50; ausencia: 18,12,8,15,10,13,7,9,16,6. $n=10$ .

$\bar{x}=417/10=41.7$ ; $\bar{y}=114/10=11.4$ .

$\sum xy=25(18)+46(12)+58(8)+37(15)+55(10)+32(13)+41(7)+50(9)+23(16)+50(6)=450+552+464+555+550+416+287+450+368+300=4392$ .

$\sum x^2=625+2116+3364+1369+3025+1024+1681+2500+529+2500=18733$ .

$b=(10\cdot 4392-417\cdot 114)/(10\cdot 18733-417^2)=(43920-47538)/(187330-173889)=-3618/13441\approx -0.269$ .

$a=11.4-(-0.269)(41.7)=11.4+11.22=22.62$ .

Recta: $y=-0.269x+22.62$ . Interpretación: cada año adicional de edad se asocia con 0.27 días menos de ausentismo.

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Evaluación de Sección III

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Tema 5: Introducción a la regresión lineal simple

¿Crees que algunas acciones de tu vida cotidiana están relacionadas, cómo puedes conocer estas relaciones?

Calculo lo siguiente:

Un experimento consiste en lanzar tres veces una moneda. Si las variables aleatorias son: X = “número de caras en los tres tiros” y Y = “diferencia en valor absoluto entre el número de caras y el de sellos en los tres lanzamientos”.

a) La distribución de probabilidad de (X, Y).

b) La media aritmética y desviación típica de las distribuciones

marginales de X y Y.

c) La covarianza y el coeficiente de correlación.

Resuelvo los siguientes problemas: a) Las calificaciones de un grupo de estudiantes en su promedio de Tercero BGU (x) y en el proyecto de grado (y) fueron las siguientes:

x 8 6 7 8 | 9 [10|10 | 7 8

y 7 8 6 8g|9|7 |7|10| 6

Determino la recta de regresión lineal de y en x.

b) El gerente de talento humano de cierta empresa quiere estudiar la relación entre el ausentismo y la edad de los trabajadores. Para ello, tomó una muestra aleatoria de 10 trabajadores de la empresa y encontró los siguientes datos:

( Edad (año) 25 46|58/37|55/32| 41) 50) 23 50

Ausentismo (días por año) 18/|12|8 [15/10/13 7 |9|16|6

Uso el método de mínimos cuadrados para hallar la ecuación muestral que relaciona las dos variables.

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