Relaciones binarias: reflexiva, simétrica y transitiva

Ejemplo1

Dado el conjunto M = (1, 2, 4, 8) considerando que se establece la relación R de M en M definida por “x divide a y, ¿qué pares ordenados definen esta relación y qué propiedad se aplica?

Solución

Encontramos la relación "x divide a y" a) 1 divide a 1,2, 4, y 8 €) 4divide a 4 y 8 b) 2 divide a 2, 4, y 8 d) 8 divide a 8 Los pares ordenados que definen la relación son: R={(1, 1); (1, 2); (1, 4); (1, 8); (2, 2); (2, 4); (2, 8); (4, 4); (4, 8); (8, 8))

Como podemos observar, se cumple la propiedad reflexiva.

Ejemplo 2

Dado el conjunto Q = (Teresa, Martha, Ana) considerando que se establece la relación R de Q en Q definida por "x es hermana de y, ¿cómo relacionamos el problema?

Solución

d) Aes hermana de T

e) Mes hermana de A f) Aes hermana de M Los pares ordenados que definen esta relación son:

R=1((T, M); (M, 7); (T, A); (AT); (M, A); (A, M))

Se cumple la propiedad simétrica.

a) Tes hermana de M b) Mes hermana de T

©) Tes hermana de A

Ejemplo 3 »

Dado el conjunto S = (5, 6, 7, 8), se establece la relación R de S en S definida por “x es mayor que y”. ¿Cómo verificamos la propiedad transitiva?

Solución a) 6es mayor que 5 b) 7 es mayor que 5, 6 c) 8es mayor que 5, 6, 7 Los pares ordenados que definen esta relación son: R=1(6, 5); (7, 5);(7,6);(8, 5),(8,0),(8,7)). La relación cumple la propiedad transitiva.

R es transitiva si un elemento está relacionado con un segundo y este con un tercero, y si el primero está relacionado con el tercero.

@ ¿Sabías que?

Las relaciones

binarias pueden cumplir las siguientes propiedades, pero no necesariamente todas.

Propiedad reflexiva

Los elementos del conjunto están relacionados entre sí de tal manera que: para todo elemento x de A, entonces > xR x.

VxEA,xRx. Propiedad simétrica

Si dos elementos de un conjunto eumplen que, si el primer elemento está relacionado con

el segundo, entonces se cumple también que el segundo está relacionado con el primero:

sixRy>yRx. Vx yEAXRy > yRx. Propiedad transitiva

Dados tres elementos del conjunto, si el primer elemento está relacionado con el segundo, y el segundo está relacionado con el tercero, entonces,

el primero está relacionado con el tercero:

sixXRyeyRz>xRz

Vx yzEA(XRYA VRZSxRzZ