Teorema del binomio

El teorema del binomio o de Newton es una fórmula con la cual se pueden escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio (a + b)”.

Para determinar esta fórmula, encontraremos por multiplicación directa los desarrollos de los binomios hasta la quinta potencia.

(a+b) =1

(a+b) =a+b

(a+b) =a’ +2ab+b*

(a+b) =a'+3a’b+3ab’ +b

(a+b)' =a* +4a°b+6a°b’ + 4ab* +b'

(a+b) =a° +5a‘b+10a°b? +10a°b? + Sab! +b°

El análisis del desarrollo de estos binomios nos permite encontrar la formula que aplicaremos:

1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.

2. Para cada valor de n, el desarrollo de (a + b)” empieza con a” y termina con b”. En cada término los exponentes de a y b suman n.

3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.

4. El primer coeficiente es la unidad. El de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

Ejemplo 2

Desarrollar (x + 2y)’.

Solución

El desarrollo tendrá 8 términos, iniciará con x7 y terminará con 128y’.

Para obtener los coeficientes, tomamos en cuenta la conclusión 4.

47 (2y) + 21x°(2y)? + 35x" (2y) +35 2y)* +21 (2y +7x(2y) +(2yY

x’ +14x°y +84 y? + 280x" y? +560xy +672x "y" + 448xy" +128y”

Recuerda que...

En los coeficientes de los términos del desarrollo de los binomios, la simetría que se obtiene es similar a los números dispuestos en el triángulo de Pascal.

Si el binomio tiene signo negativo,

en el desarrollo se colocan los signos alternadamente.

1 ————+ (x+y VIA (1

coin eee) AS (AA (e)

1 5 10 10 5 1—> (x+y) 1 6 15 20 15 6 1-> (x+y)

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