Análisis del discriminante

La ecuación de segundo grado ax? + bx + c = 0 tiene dos soluciones:

=

' 2a

La cantidad subradical b ? - 4ac se denomina discriminante, porque sirve para

-b+Vb? - 4ac y

_ -b- vb’ -4ac

ds 2a

discriminar (discernir) entre los tipos de soluciones.

Existen tres posibles casos:

Discriminante: b?-4ac> 0 Discriminante positivo Dos raíces reales diferentes

Ejemplo: x?+x-6=0

Analizamos el discriminante. a=1, b=1,c=-6

b?-4ac>0

1?-4(1)(-6) >0

1+24>0

25>0

La ecuación tiene dos raíces reales diferentes.

Graficamos la función cuadrática: y=x?+x-6

| 7 | | 6 2 Lye =x +X-6 4 Y 3 2 1 4 + + >x =4 1 39514

i

Los puntos (-3, 0) y (2, 0) son los cor- tes de la parábola con el eje x, y son las soluciones de la ecuación: x=-3 y x,=2

Discriminante: b?- 4ac=0 Discriminante nulo Raíces reales iguales

Ejemplo: x?-6x+9=0

Analizamos el discriminante. a=1, b=-6, c=9

b?-4ac=0

(-6 -4(1)(9) = 0

36-36=0

0=0

La ecuación tiene única solución, las dos raíces son reales e iguales.

Graficamos la función cuadrática: y=x?-6x+9

Y

SS

y=x*-6x+9

O EE E CEE

2

is)

La identidad de Legendre se aplica a las raíces:

¿Sabías que?

(x, 4%) (0x2) =4%%

| Discriminante: b?- 4ac <0 | Discriminante negativo

| No hay raíces reales Ejemplo:x?- 3x+5=0

Analizamos el discriminante. a=1,b=-3,c=5

b?-4ac <0

(-3)?-4(1)(5) < 0

9-20<0

-11<0

La ecuación no tiene solución real.

Graficamos la función cuadrática: y=x?-3x+5

yA

y=X-3x+5

ERE SE 1

2

Archivo editorial.

El punto de corte de la parábola con el eje xes (3, 0), que es el vértice de la parábola. La ecuación tiene dos raíces reales iguales:

Xx, =X,=3

La parábola no corta el eje de las x, por lo tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.