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Tema 6

ES Recuerda que...

El factorial de un número es el producto de los “n" factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota porn! nl=n(n—1)(n=2)(n- 3) wor)

Por ejemplo: 6!=6x5x4x3x2x1 =720

ol=1

Variaciones, combinaciones y permutaciones

(E) Saberes previos

¿Cuáles son los números que puedes formar con los números 3, 6 y 9 sin repetir cifras?

En el concurso de declamación de una institución educativa se han presentado 12 participantes, de los cuales tres serán premiados, uno será el ganador, otro ocupará el segundo lugar y se acreditará el tercer lugar. ¿De cuántas maneras se puede formar ese cuadro de premiados?

Observamos que existe un conjunto de participantes, conformado por 12 elementos; de ellos solo tres serán seleccionados para ser premiados con cierto orden, de acuerdo con su desenvolvimiento. Las características de esta situación corresponden a una variación ordinaria; por lo tanto, definamos este parámetro matemático.

Se denominan variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m > n) a los distintos grupos formados por n elementos, en donde se cumple que: no entran todos los elementos, importa el orden y no hay repetición de elementos. Para calcularlas usamos la fórmula:

ml

” (m-n)!

Apliquemos la fórmula a nuestra situación

3 121 12x11x10x9! = 1211 10 = 1 320

Vo") ol * El cuadro de premiados puede formarse de 1 320 distintas formas. Ejemplo 1 ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 0, 1, 3,5,7y 9 Solución

De los seis elementos con los que se dispone, debemos tomar tres. Importa el orden y las cifras deben ser distintas, por lo tanto, se trata de una variación. Sin em- bargo, como ningún número empieza con cero, tenemos que separar el número en dos bloques: el primer bloque lo pueden ocupar solo 1, 3, 5, 7 y 9. Ahí tenemos una variación donde m=5yn=1.

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito, menos el inicial, resultando una variación, en la quem=5yn=2.

La variación total se calcula como el producto de las dos variaciones:

a SE OSL 5x4l Sx 4x3! ya. A, =5x20=100 UV VAN lS *

Existen otras formas de disponer los elementos de un conjunto.

M.4.3.10. Aplicar métodos de conteo (combinaciones y permutaciones) en el cálculo de probabilidades. M.4.3.11. Calcular el factorial de un número natural y el coeficiente binomial en el cálculo de probabilidades.